Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2021

Haz un dibujo de la gráfica de la función $f(x)=(x-1)(x-4)$, señalando si existen sus máximos y mínimos. (0.75 puntos)

Calcula el área de la región del plano limitada por la gráfica y la recta $y=10$. (1.75 puntos)

Se desarrolla el producto para reconocer la parábola:

$f(x)=(x-1)(x-4)=x^2-5x+4$

El coeficiente principal es positivo, luego las ramas van hacia arriba. Corta al eje de abscisas donde se anula cada factor y su vértice está en el punto medio de esos dos cortes:

$(x-1)(x-4)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=1\\ x=4\end{array}$

$x_V={\displaystyle \frac{-(-5)}{2\cdot 1}}={\displaystyle \frac{5}{2}}\Rightarrow f\left({\displaystyle \frac{5}{2}}\right)={\displaystyle \frac{3}{2}}\cdot (-{\displaystyle \frac{3}{2}})=-{\displaystyle \frac{9}{4}}$



La función tiene un mínimo absoluto —y relativo— en el vértice $(\frac{5}{2},-\frac{9}{4})$, y no tiene ningún máximo: al abrirse las ramas hacia arriba, crece sin límite a los dos lados.



Los extremos del recinto son los puntos en que la recta corta a la parábola:

$x^2-5x+4=10\Rightarrow x^2-5x-6=0$

$x={\displaystyle \frac{5\pm \sqrt{25+24}}{2}}={\displaystyle \frac{5\pm 7}{2}}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=6\\ x=-1\end{array}$

Entre esas dos abscisas la recta queda por encima de la parábola, así que el integrando es la recta menos la curva.



$\mathcal{A}={\int }_{-1}^6[10-(x^2-5x+4)]dx={\int }_{-1}^6(6+5x-x^2)dx$

$={[6x+{\displaystyle \frac{5x^2}{2}}-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}]}_{-1}^6$

$=(36+90-72)-(-6+{\displaystyle \frac{5}{2}}-(-{\displaystyle \frac{1}{3}}))$

$=54-(-{\displaystyle \frac{19}{6}})=54+{\displaystyle \frac{19}{6}}={\displaystyle \frac{343}{6}}$

El área de la región es de ${\displaystyle \frac{343}{6}}\approx \mathrm{57,17}$ unidades de área.