Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2023

A.3. (2 puntos)

Considere la función real de variable real

$f(x)=\{\begin{array}{ll}a{x}^2+3& x<2\\ e^x& x\ge 2\end{array}$

a) Obtenga el valor del parámetro real a para que la función $f(x)$ sea continua en su dominio.
b) Calcule el área de la región acotada del plano delimitada por la gráfica de $f(x)$, el eje de abscisas y las rectas $x=2$ y $x=3$.

Cada trozo es continuo en su intervalo, por ser una función polinómica y una exponencial, así que solo hay que imponer la continuidad en el punto de empalme.

${\lim }_{x\to 2^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 2^{-}}(a{x}^2+3)=4a+3$

${\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)=f(2)=e^2$

$4a+3=e^2\Rightarrow a={\displaystyle \frac{e^2-3}{4}}$

La función es continua en todo su dominio únicamente para $a={\displaystyle \frac{e^2-3}{4}}\approx \mathrm{1,10}$.



Todo el intervalo $[2,3]$ cumple $x\ge 2$, de manera que ahí la función es $f(x)=e^x$, siempre positiva. La curva no corta al eje de abscisas y el área coincide con la integral definida.

$\acute{\text{A}}\text{rea}={\int }_2^3{e}^{x}dx={\left[e^x\right]}_2^3$

$\acute{\text{A}}\text{rea}=e^3-e^2\approx \mathrm{12,70}$

El área de la región acotada es $e^3-e^2\approx \mathrm{12,70}$ unidades de área.