Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2024

2. (2 puntos)

a) Encuentre el valor del parámetro real

$a$ tal que ${\int }_0^1(\sqrt{x}-a)dx=\frac{2}{3}$

b) Sea

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2-b& \text{si }x<0\\ 3x+2& \text{si }x\ge 0\end{array}$

Determine para qué valores del parámetro $b\in \mathbb{R}$ se tiene que $f(x)$ es una función continua en su dominio. Estudie la derivabilidad de la función para esos valores del parámetro $b$.

Calculamos la integral definida dejando el parámetro indicado y después igualamos al valor que pide el enunciado.

$\int (\sqrt{x}-a)dx=\int x^{1\mathrm{/}2}dx-ax={\displaystyle \frac{2}{3}}{x}^{3\mathrm{/}2}-ax+C$

${\int }_0^1(\sqrt{x}-a)dx={[{\displaystyle \frac{2}{3}}{x}^{3\mathrm{/}2}-ax]}_0^1={\displaystyle \frac{2}{3}}-a$

${\displaystyle \frac{2}{3}}-a={\displaystyle \frac{2}{3}}\Rightarrow a=0$

El valor del parámetro es $a=0$.



Cada trozo es un polinomio, continuo y derivable en su intervalo, así que todo se juega en el punto de empalme.

$f(0)=3\cdot 0+2=2$

${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 0^{-}}(x^2-b)=-b$

${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 0^{+}}(3x+2)=2$

$-b=2\Rightarrow b=-2$

La función es continua en todo su dominio únicamente para $b=-2$.

Con ese valor estudiamos la derivabilidad comparando las derivadas laterales en el punto de empalme.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\{\begin{array}{ll}2x& \text{si }x<0\\ 3& \text{si }x>0\end{array}$

$f^{\mathrm{\prime }}(0^{-})={\lim }_{x\to 0^{-}}2x=0,f^{\mathrm{\prime }}(0^{+})={\lim }_{x\to 0^{+}}3=3$

Las derivadas laterales no coinciden, así que la función no es derivable en $x=0$; es derivable en $\mathbb{R}-\{0\}$.