Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2021

EJERCICIO 4. Análisis.
Un fabricante de automóviles hace un estudio sobre los beneficios, en miles de euros, a lo largo de los diez últimos años, y comprueba que éstos se ajustan a la función
$B(t)=t^3-18t^2+81t-3\text{ si }0\le t\le 10,(t\text{ en a}\tilde{\text{n}}\text{os})$

a) ¿Qué beneficios obtuvo la empresa el último año del estudio?
b) Determine los periodos de crecimiento y decrecimiento de los beneficios.
c) ¿En qué años se producen los beneficios máximos y mínimos y a cuánto ascienden?
d) Calcule ${\displaystyle {\int }_1^{2}B(t)dt}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{beneficios}}\mathbf{\text{obtuvo}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{empresa}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{ltimo}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{estudio?}}$

El último año del estudio corresponde a $t=10$.

$B(10)={10}^3-18\cdot {10}^2+81\cdot 10-3=1000-1800+810-3=7$

El último año la empresa obtuvo unos beneficios de 7 miles de euros, es decir, 7000 euros.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{periodos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{decrecimiento}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{beneficios.}}$

Derivamos y buscamos los puntos críticos.

$B^{\mathrm{\prime }}(t)=3t^2-36t+81=3(t^2-12t+27)=3(t-3)(t-9)$

$B^{\mathrm{\prime }}(t)=0\Rightarrow t=3\text{ y }t=9$

Estudiamos el signo de la derivada en cada tramo de $[0,10]$.

$\{\begin{array}{l}{B}^{\mathrm{\prime }}(0)=3(-3)(-9)=81>0\\ B^{\mathrm{\prime }}(6)=3(3)(-3)=-27<0\\ B^{\mathrm{\prime }}(10)=3(7)(1)=21>0\end{array}$



Los beneficios crecen durante los tres primeros años y durante el último, y decrecen entre el tercero y el noveno.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿En}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{producen}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{beneficios}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{ascienden?}}$

Los extremos absolutos se buscan entre los puntos críticos y los extremos del intervalo.

$B(0)=-3$

$B(3)=27-162+243-3=105$

$B(9)=729-1458+729-3=-3$

$B(10)=7$

Los beneficios máximos se producen en el tercer año y ascienden a 105 miles de euros, es decir, 105.000 euros. Los mínimos valen $-3$ miles de euros, o sea, unas pérdidas de 3000 euros, y se dan en dos momentos: al principio del estudio y en el noveno año.



Aplicamos la regla de Barrow tras obtener una primitiva.

${\int }_1^2(t^3-18t^2+81t-3)dt={[{\displaystyle \frac{t^4}{4}}-6t^3+{\displaystyle \frac{81t^2}{2}}-3t]}_1^2$

$=(4-48+162-6)-({\displaystyle \frac{1}{4}}-6+{\displaystyle \frac{81}{2}}-3)=112-{\displaystyle \frac{127}{4}}={\displaystyle \frac{321}{4}}$

El valor de la integral es $\frac{321}{4}=\mathrm{80,25}$.