Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2022

EJERCICIO 4. Análisis.
Dada la función $f(x)=x^3-a{x}^2+8x$

a) Calcule el valor del parámetro "$a$" teniendo en cuenta que la función $f(x)$ presenta un punto de inflexión en $x=2$.
b) Para $a=6$, calcule el área del recinto limitado por la gráfica de la función $f(x)$ y el eje OX.

En un punto de inflexión se anula la segunda derivada, así que derivamos dos veces.

$f(x)=x^3-a{x}^2+8x\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-2ax+8$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=6x-2a$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(2)=0\Rightarrow 12-2a=0\Rightarrow a=6$

El valor del parámetro es $a=6$.



Los límites de integración son los cortes de la función con el eje de abscisas.

$f(x)=x^3-6x^2+8x=x(x^2-6x+8)=x(x-2)(x-4)$

$f(x)=0\Rightarrow x=0,x=2,x=4$

La función cambia de signo en las raíces intermedias, de modo que el recinto tiene dos lóbulos y hay que integrar por separado y tomar valores absolutos.

${\int }_0^2(x^3-6x^2+8x)dx={[{\displaystyle \frac{x^4}{4}}-2x^3+4x^2]}_0^2=4-16+16=4$

${\int }_2^4(x^3-6x^2+8x)dx={[{\displaystyle \frac{x^4}{4}}-2x^3+4x^2]}_2^4=(64-128+64)-4=-4$



$\acute{\text{A}}\text{rea}=\mathrm{\mid }4\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }-4\mathrm{\mid }=8$

El área del recinto limitado por la gráfica de $f(x)$ y el eje OX es de 8 unidades de área.