Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2020

A 2 [hasta 2,5 puntos]
Sea la función $f(x)=a{x}^3+bx+1$.

a) [0,75 puntos] Calcula los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que $f(x)$ tenga un extremo relativo en el punto $(1,-5)$.
b) [0,75 puntos] Para $a=2$ y $b=-6$, estudiar los máximos y mínimos relativos, y los puntos de inflexión de la función $f(x)$.
c) [1 punto] Para $a=2$ y $b=-6$, calcula el área comprendida entre la función y la recta $y=2x+1$. Realiza la representación gráfica.

Que haya un extremo relativo en ese punto impone dos condiciones: la curva pasa por él y la derivada se anula allí.

$f(x)=a{x}^3+bx+1;f^{\mathrm{\prime }}(x)=3a{x}^2+b$

$f(1)=a+b+1=-5\Rightarrow a+b=-6$

$f^{\mathrm{\prime }}(1)=3a+b=0$

Se restan las dos ecuaciones para eliminar $b$:

$(3a+b)-(a+b)=0-(-6)\Rightarrow 2a=6\Rightarrow a=3$

$b=-3a=-9$

Los parámetros son $a=3$ y $b=-9$.



Con esos valores la función es otra distinta de la del apartado anterior, y se estudia con las dos primeras derivadas.

$f(x)=2x^3-6x+1$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=6x^2-6;f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=12x$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow x^2=1\Rightarrow x=\pm 1$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(-1)=-12<0\Rightarrow \text{m}\acute{\text{a}}\text{ximo relativo};f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(1)=12>0\Rightarrow \text{m}\acute{\text{ı}}\text{nimo relativo}$

$f(-1)=-2+6+1=5;f(1)=2-6+1=-3$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow x=0;f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=12\mathrm{\ne }0\Rightarrow \text{punto de inflexi}\acute{\text{o}}\text{n}$

$f(0)=1$

La función tiene un máximo relativo en $(-1,5)$, un mínimo relativo en $(1,-3)$ y un punto de inflexión en $(0,1)$.



Los límites de integración son los cortes entre la curva y la recta.

$2x^3-6x+1=2x+1\Rightarrow 2x^3-8x=0\Rightarrow 2x(x^2-4)=0$

$\{\begin{array}{l}x=-2\\ x=0\\ x=2\end{array}$

Hay tres cortes, de modo que el recinto tiene dos piezas y en cada una manda una de las dos curvas. Basta probar un punto interior de cada tramo para saber cuál va por encima.

$x=-1:f(-1)=5>-1=2(-1)+1\Rightarrow \text{ la curva va por encima}$

$x=1:f(1)=-3<3=2\cdot 1+1\Rightarrow \text{ la recta va por encima}$

$A={\int }_{-2}^0[(2x^3-6x+1)-(2x+1)]dx+{\int }_0^2[(2x+1)-(2x^3-6x+1)]dx$

Los dos integrandos son opuestos y muy sencillos:

$(2x^3-6x+1)-(2x+1)=2x^3-8x$

$A=\mid {\int }_{-2}^0(2x^3-8x)dx\mid +\mid {\int }_0^2(2x^3-8x)dx\mid$

$\int (2x^3-8x)dx={\displaystyle \frac{x^4}{2}}-4x^2$

${\int }_{-2}^0(2x^3-8x)dx=0-({\displaystyle \frac{16}{2}}-16)=0-(-8)=8$

${\int }_0^2(2x^3-8x)dx=({\displaystyle \frac{16}{2}}-16)-0=-8$

$A=\mathrm{\mid }8\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }-8\mathrm{\mid }=16$

Las dos piezas tienen la misma área, lo que era previsible: tanto la cúbica como la recta son simétricas respecto del punto $(0,1)$.

El área comprendida entre la función y la recta es de $16$ unidades de área.