Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2021

A.2. [hasta 2,5 puntos]
Sea $f(x)$ la siguiente función:
$f(x)=\{\begin{array}{ll}x+2& \text{si }-2\le x<0\\ -x+2& \text{si }0\le x<2\\ x^2-4x+4& \text{si }2\le x\le 4\end{array}$

a) [1 punto] Analiza la continuidad de la función en el intervalo $[-2,4]$.
b) [0,5 puntos] Realiza la representación gráfica de la función.
c) [1 punto] Calcula el área comprendida entre la función y el eje de abscisas OX.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}\mathbf{\text{Analiza}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{continuidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">[</mo><mo\; mathvariant="bold-italic">-</mo><mn\; mathvariant="bold">2</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">4</mn><mo\; stretchy="false">]</mo></mrow>}\mathbf{\text{.}}$

En cada trozo abierto la función es un polinomio, y los polinomios son continuos en todo su dominio. Los únicos puntos dudosos son los dos empalmes, $x=0$ y $x=2$, donde hay que comprobar las tres condiciones de la continuidad.

i) Empalme en $x=0$:

$f(0)=-0+2=2$

${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 0^{-}}(x+2)=2$

${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 0^{+}}(-x+2)=2$

${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=f(0)=2\Rightarrow \text{ continua en }x=0$

ii) Empalme en $x=2$:

$f(2)=2^2-4\cdot 2+4=0$

${\lim }_{x\to 2^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 2^{-}}(-x+2)=0$

${\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 2^{+}}(x^2-4x+4)=4-8+4=0$

${\lim }_{x\to 2^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)=f(2)=0\Rightarrow \text{ continua en }x=2$

En los extremos del intervalo la continuidad es lateral y se cumple, ya que $f(-2)=0$ y $f(4)=4$ coinciden con los límites correspondientes.

La función es continua en todo el intervalo $[-2,4]$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Realiza}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{representaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{fica}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}$

Los dos primeros trozos son segmentos de recta, determinados por dos puntos cada uno, y el tercero es un arco de la parábola $y=(x-2{)}^2$, que tiene el vértice justo en el empalme.

$\{\begin{array}{l}y=x+2:(-2,0)\text{ y }(0,2)\\ y=-x+2:(0,2)\text{ y }(2,0)\\ y=(x-2{)}^2:\text{v}\acute{\text{e}}\text{rtice }(2,0)\text{ y }(4,4)\end{array}$



$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{comprendida}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{eje}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{abscisas}}\mathbf{\text{OX.}}$

En la gráfica se ve que la función no cambia de signo: se mantiene por encima del eje de abscisas y solo lo toca en $x=-2$ y en $x=2$. No hacen falta, por tanto, valores absolutos, y el área es la suma de las tres integrales definidas, una por trozo.

$A={\int }_{-2}^0(x+2)dx+{\int }_0^2(-x+2)dx+{\int }_2^4(x^2-4x+4)dx$

Aplicando la regla de Barrow a cada una:

${\int }_{-2}^0(x+2)dx={[{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+2x]}_{-2}^0=0-(2-4)=2$

${\int }_0^2(-x+2)dx={[-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+2x]}_0^2=(-2+4)-0=2$

${\int }_2^4(x^2-4x+4)dx={\left[{\displaystyle \frac{(x-2{)}^3}{3}}\right]}_2^4={\displaystyle \frac{8}{3}}-0={\displaystyle \frac{8}{3}}$

$A=2+2+{\displaystyle \frac{8}{3}}={\displaystyle \frac{6+6+8}{3}}={\displaystyle \frac{20}{3}}$

El área comprendida entre la función y el eje de abscisas es $\frac{20}{3}\approx \mathrm{6,67}$ unidades de área.