Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2022

B.2. [hasta 2,5 puntos]

a) [0,8 puntos] Calcula las derivadas de las siguientes funciones:
$f(x)=(x^2-1)(3x^3+5x{)}^{3}g(x)={\displaystyle \frac{\ln (3x)}{e^{2x}}}$
b) [0,6 puntos] Determina la ecuación de la recta tangente a la función $h(x)$ en el punto de abscisa $x=1$.
$h(x)={\displaystyle \frac{3x+6}{2x+1}}$
c) [0,5 puntos] Determina, si existen, las asíntotas verticales y horizontales de la función $h(x)$.
d) [0,6 puntos] Calcula:
$\int (e^{3x}-3x^2+{\displaystyle \frac{2}{x+2}}-{\displaystyle \frac{4}{(x+2{)}^2}})dx$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[0,8}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{derivadas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{siguientes}}\mathbf{\text{funciones.}}$

i) La primera es un producto en el que el segundo factor es una potencia, de modo que se aplica la regla del producto y, dentro, la regla de la cadena.

$f(x)=(x^2-1){(3x^3+5x)}^3$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2x{(3x^3+5x)}^3+(x^2-1)\cdot 3{(3x^3+5x)}^2(9x^2+5)$

Sacando factor común ${(3x^3+5x)}^2$ queda más compacta:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={(3x^3+5x)}^2[2x(3x^3+5x)+3(x^2-1)(9x^2+5)]$

ii) La segunda es un cociente; se aplica la regla correspondiente, teniendo en cuenta que la derivada de $\ln (3x)$ es $1\mathrm{/}x$.

$g(x)={\displaystyle \frac{\ln (3x)}{e^{2x}}}$

$g^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{x}}{e}^{2x}-\ln (3x)\cdot 2e^{2x}}{{\left(e^{2x}\right)}^2}}={\displaystyle \frac{e^{2x}({\displaystyle \frac{1}{x}}-2\ln (3x))}{e^{4x}}}$

$g^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1-2x\ln (3x)}{x{e}^{2x}}}$



La recta tangente pasa por el punto de la curva y tiene por pendiente el valor de la derivada allí, así que se calculan las dos cosas.

$h(1)={\displaystyle \frac{3+6}{2+1}}={\displaystyle \frac{9}{3}}=3$

$h^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{3(2x+1)-(3x+6)\cdot 2}{(2x+1{)}^2}}={\displaystyle \frac{6x+3-6x-12}{(2x+1{)}^2}}={\displaystyle \frac{-9}{(2x+1{)}^2}}$

$h^{\mathrm{\prime }}(1)={\displaystyle \frac{-9}{9}}=-1$

$y-3=-1(x-1)\Rightarrow y=-x+4$

La recta tangente en el punto de abscisa $x=1$ es $y=-x+4$.



Las asíntotas verticales están donde se anula el denominador sin anularse el numerador.

$2x+1=0\Rightarrow x=-{\displaystyle \frac{1}{2}};3(-{\displaystyle \frac{1}{2}})+6={\displaystyle \frac{9}{2}}\mathrm{\ne }0$

${\lim }_{x\to -\frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{3x+6}{2x+1}}=\mathrm{\infty }\Rightarrow x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\text{es as}\acute{\text{ı}}\text{ntota vertical}$

La asíntota horizontal se obtiene con el límite en el infinito. Al ser un cociente de polinomios del mismo grado, es el cociente de los coeficientes principales.

${\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{3x+6}{2x+1}}={\displaystyle \frac{3}{2}}\Rightarrow y={\displaystyle \frac{3}{2}}\text{es as}\acute{\text{ı}}\text{ntota horizontal}$



$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{[0,6}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{integral.}}$

Se descompone en cuatro integrales inmediatas. La tercera es un logaritmo neperiano y la cuarta una potencia de exponente $-2$.

$\int (e^{3x}-3x^2+{\displaystyle \frac{2}{x+2}}-{\displaystyle \frac{4}{(x+2{)}^2}})dx$

$=\int e^{3x}dx-3\int x^{2}dx+2\int {\displaystyle \frac{dx}{x+2}}-4\int (x+2{)}^{-2}dx$

$={\displaystyle \frac{e^{3x}}{3}}-3\cdot {\displaystyle \frac{x^3}{3}}+2\ln \mathrm{\mid }x+2\mathrm{\mid }-4\cdot {\displaystyle \frac{(x+2{)}^{-1}}{-1}}+C$

$={\displaystyle \frac{e^{3x}}{3}}-x^3+2\ln \mathrm{\mid }x+2\mathrm{\mid }+{\displaystyle \frac{4}{x+2}}+C$

Se puede comprobar derivando: la derivada de $\frac{4}{x+2}$ es $-\frac{4}{(x+2{)}^2}$, que es el último sumando del integrando.

El resultado es $\frac{e^{3x}}{3}-x^3+2\ln \mathrm{\mid }x+2\mathrm{\mid }+\frac{4}{x+2}+C$, con $C$ constante real.