Examen de Matemáticas CCSS de País Vasco 2022 (convocatoria ordinaria)

A.1. [hasta 2,5 puntos]
Una determinada empresa de selección de personal realiza un test de 90 preguntas. Por cada acierto da 6 puntos; por cada fallo quita 2,5 puntos, y por cada pregunta no contestada quita 1,5 puntos. Para aprobar hay que obtener por lo menos 210 puntos.
¿Cuántas preguntas hay que contestar correctamente para obtener los 210 puntos, y que el número de preguntas no contestadas más el número de aciertos sea igual al doble del número de fallos?

B.1. [hasta 2,5 puntos]
El ayuntamiento de una determinada ciudad ha concedido la licencia para la construcción de una urbanización de a lo sumo 120 viviendas, de dos tipos A y B.
Para ello, la empresa constructora dispone de un capital máximo de 15 millones de euros. El coste de construcción de la vivienda de tipo A es 100.000 €, y el de la del tipo B 300.000 €. Además, el beneficio obtenido por la venta de una vivienda de tipo A asciende a 20.000 € y por una de tipo B a 40.000 €.

	Coste de construcción	Beneficio A	100.000 €	20.000 € B	300.000 €	40.000 €

a) [2,2 puntos] ¿Cuántas viviendas de cada tipo deben construirse para obtener el máximo beneficio?
b) [0,3 puntos] ¿A cuánto asciende dicho beneficio máximo?

A.2. [hasta 2,5 puntos]
Sea $f(x)$ la función:
$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{2x+1}{1-2x}}& \text{si }x<0\\ x^2-x-a& \text{si }x\ge 0\end{array}$

a) [0,7 puntos] Encuentra el valor del parámetro $a$ para que la función $f(x)$ sea continua en el punto $x=0$.
b) [1 punto] En el caso $a=2$, analiza los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función, y los máximos y mínimos relativos.
c) [0,8 puntos] En el caso $a=2$, realiza la representación gráfica de la función.

B.2. [hasta 2,5 puntos]

a) [0,8 puntos] Calcula las derivadas de las siguientes funciones:
$f(x)=(x^2-1)(3x^3+5x{)}^{3}g(x)={\displaystyle \frac{\ln (3x)}{e^{2x}}}$
b) [0,6 puntos] Determina la ecuación de la recta tangente a la función $h(x)$ en el punto de abscisa $x=1$.
$h(x)={\displaystyle \frac{3x+6}{2x+1}}$
c) [0,5 puntos] Determina, si existen, las asíntotas verticales y horizontales de la función $h(x)$.
d) [0,6 puntos] Calcula:
$\int (e^{3x}-3x^2+{\displaystyle \frac{2}{x+2}}-{\displaystyle \frac{4}{(x+2{)}^2}})dx$

A.3. [hasta 2,5 puntos]
Un libro tiene 230 páginas repartidas en 3 capítulos. El primer capítulo tiene 100 páginas, y de ellas el 15 % tiene errores. El segundo consta de 80 páginas, de las cuales 8 tienen errores; y en el tercero, de 50 páginas, sólo hay 40 que no tienen ningún error.
Si abrimos el libro por una página al azar:

a) [0,5 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que sea del segundo capítulo?
b) [0,75 puntos] Calcula la probabilidad de que la página elegida tenga errores y sea del tercer capítulo.
c) [0,75 puntos] Calcula la probabilidad de que la página elegida no tenga errores.
d) [0,5 puntos] Observamos que la página elegida tiene errores, ¿cuál es la probabilidad de que sea del tercer capítulo?

B.3. [hasta 2,5 puntos]
Sean $A,B,C,D$ y $E$ sucesos de un determinado experimento aleatorio.

a) [0,75 puntos] Sabemos que $P(A)=\mathrm{0,4}$; $P(B)=\mathrm{0,3}$ y $P(A\cup B)=\mathrm{0,5}$. Calcula la probabilidad de que ocurran $A$ y $B$.
b) [1 punto] Sabemos que $P(C)=\mathrm{0,5}$; $P(D)=\mathrm{0,6}$ y $P(C\cup D)=\mathrm{0,7}$. Calcula la probabilidad de que ocurra $C$ sabiendo que ha ocurrido $D$.
c) [0,75 puntos] Sabemos que $P(A)=\mathrm{0,4}$; $P(E)=\mathrm{0,6}$ y que los sucesos $A$ y $E$ son independientes. Calcula la probabilidad de que ocurra alguno de los dos sucesos.

A.4. [hasta 2,5 puntos]
En un examen de Lengua Inglesa el 30 % del alumnado examinado obtuvo una puntuación superior a 7,6 puntos. Sabemos que la puntuación obtenida en dicho examen sigue una distribución normal de media 6,8 puntos.

a) [0,75 puntos] Calcula la desviación típica de la distribución de la puntuación.
b) [0,75 puntos] Si la desviación típica es 1,5 puntos, ¿qué puntuación es superada únicamente por el 20 % del alumnado?
c) [1 punto] Si la desviación típica es 1,5 puntos y el Aprobado se obtiene con una puntuación igual o superior a 5, ¿qué porcentaje del alumnado ha aprobado el examen?

B.4. [hasta 2,5 puntos]
Se ha diseñado un experimento para comprobar el porcentaje de una población que ha sido vacunada frente a una determinada enfermedad. Para ello se ha elegido una muestra al azar de 1.000 personas, y se les ha preguntado si han recibido la vacuna o no. De ellas, 860 han respondido que sí y el resto que no.
Con esta información:

a) [1,25 puntos] Estimar, con un nivel de confianza del 95 %, el porcentaje de personas de la población que han recibido la vacuna.
b) [0,75 puntos] Calcular el error máximo admisible para dicho nivel de confianza.
c) [0,5 puntos] Interpretar los resultados obtenidos.