Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

B.1. [hasta 2,5 puntos]
El ayuntamiento de una determinada ciudad ha concedido la licencia para la construcción de una urbanización de a lo sumo 120 viviendas, de dos tipos A y B.
Para ello, la empresa constructora dispone de un capital máximo de 15 millones de euros. El coste de construcción de la vivienda de tipo A es 100.000 €, y el de la del tipo B 300.000 €. Además, el beneficio obtenido por la venta de una vivienda de tipo A asciende a 20.000 € y por una de tipo B a 40.000 €.

	Coste de construcción	Beneficio A	100.000 €	20.000 € B	300.000 €	40.000 €

a) [2,2 puntos] ¿Cuántas viviendas de cada tipo deben construirse para obtener el máximo beneficio?
b) [0,3 puntos] ¿A cuánto asciende dicho beneficio máximo?

Se nombran las variables de decisión y se expresan las cantidades de dinero en miles de euros, para que los números no sean tan grandes.

$x=\text{viviendas del tipo }A,y=\text{viviendas del tipo }B$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[2,2}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntas}}\mathbf{\text{viviendas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{deben}}\mathbf{\text{construirse}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{obtener}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{beneficio?}}$

La función objetivo es el beneficio total por la venta de las viviendas, y las restricciones son la licencia municipal y el capital disponible.

$f(x,y)=20000x+40000y$

$\{\begin{array}{l}x+y\le 120\\ 100000x+300000y\le 15000000\\ x\ge 0,y\ge 0\end{array}$

La segunda restricción se simplifica dividiendo entre $100000$:

$\{\begin{array}{l}x+y\le 120\\ x+3y\le 150\\ x\ge 0,y\ge 0\end{array}$

El origen cumple las dos desigualdades, de modo que la región factible queda por debajo de las dos rectas dentro del primer cuadrante. Sobre el eje de abscisas manda la licencia y sobre el de ordenadas manda el capital.

$x\le 120\Rightarrow A(120,0);3y\le 150\Rightarrow y\le 50\Rightarrow C(0,50)$

El cuarto vértice es el corte de las dos rectas.

$\{\begin{array}{l}x+y=120\\ x+3y=150\end{array}\Rightarrow 2y=30\Rightarrow y=15$

$x=120-15=105\Rightarrow B(105,15)$



Por el teorema fundamental de la programación lineal se evalúa la función objetivo en los cuatro vértices.

$\{\begin{array}{l}f(0,0)=0\\ f(120,0)=20000\cdot 120=2400000\\ f(105,15)=20000\cdot 105+40000\cdot 15=2100000+600000=2700000\\ f(0,50)=40000\cdot 50=2000000\end{array}$

Deben construirse $105$ viviendas del tipo $A$ y $15$ del tipo $B$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[0,3}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{¿A}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{asciende}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo?}}$

El beneficio máximo es el valor de la función objetivo en el vértice $B$.

$f(105,15)=2100000+600000=2700000$

El beneficio máximo asciende a $2700000$ euros, es decir, $\mathrm{2,7}$ millones de euros.