Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

B.1. [hasta 2,5 puntos]
En un examen de matemáticas se propone el siguiente problema:
“Indica dónde alcanza el mínimo la función $F(x,y)=6x+3y-2$, en la región determinada por las siguientes restricciones:
$2x+y\ge 6;2x+5y\le 30;2x-y\le 6$.”

a) [2,2 puntos] Jimena responde que el mínimo de la función se alcanza en el punto $(1,2)$ e Iván, por el contrario, que lo hace en el punto $(3,0)$.
• ¿Es cierto que el mínimo de la función se alcanza en el punto $(1,2)$?
• ¿Es exacta la respuesta de Iván?
Razona tus respuestas.
b) [0,3 puntos] ¿Cuánto vale dicho mínimo?

Antes de juzgar las dos respuestas hay que dibujar la región factible y localizar el mínimo, así que se empieza por ahí.

$F(x,y)=6x+3y-2$

$\{\begin{array}{l}2x+y\ge 6\\ 2x+5y\le 30\\ 2x-y\le 6\end{array}$

Las tres rectas se cortan dos a dos y encierran un triángulo, cuyos vértices se obtienen resolviendo los tres sistemas.

$\{\begin{array}{l}2x+y=6\\ 2x+5y=30\end{array}\Rightarrow 4y=24\Rightarrow y=6,x=0\Rightarrow A(0,6)$

$\{\begin{array}{l}2x+y=6\\ 2x-y=6\end{array}\Rightarrow 4x=12\Rightarrow x=3,y=0\Rightarrow B(3,0)$

$\{\begin{array}{l}2x+5y=30\\ 2x-y=6\end{array}\Rightarrow 6y=24\Rightarrow y=4,x=5\Rightarrow C(5,4)$



Se evalúa la función objetivo en los tres vértices.

$\{\begin{array}{l}F(0,6)=6\cdot 0+3\cdot 6-2=16\\ F(3,0)=6\cdot 3+3\cdot 0-2=16\\ F(5,4)=6\cdot 5+3\cdot 4-2=40\end{array}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[2,2}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{¿Es}}\mathbf{\text{cierto}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{alcanza}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mn\; mathvariant="bold">1</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">2</mn><mo\; stretchy="false">)</mo></mrow>}\mathbf{\text{?}}\mathbf{\text{¿Es}}\mathbf{\text{exacta}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{respuesta}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Iv}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{n?}}\mathbf{\text{Razona}}\mathbf{\text{tus}}\mathbf{\text{respuestas.}}$

i) La respuesta de Jimena. Antes de mirar el valor de la función hay que comprobar si el punto pertenece a la región factible, es decir, si cumple las tres restricciones.

$2\cdot 1+2=4\ge ̸6$

La primera restricción falla, de modo que el punto $(1,2)$ está fuera de la región factible: en el dibujo queda por debajo de la recta $2x+y=6$. No es cierto que el mínimo se alcance ahí, porque en ese punto la función ni siquiera está sometida al problema.

ii) La respuesta de Iván. El valor mínimo, $16$, se alcanza a la vez en los vértices $A$ y $B$, y por tanto en todos los puntos del segmento que los une. No es casualidad: sobre la recta $2x+y=6$ se cumple

$F(x,y)=6x+3y-2=3(2x+y)-2=3\cdot 6-2=16$

La respuesta de Iván no es falsa, porque el punto $(3,0)$ sí es uno de los puntos donde se alcanza el mínimo, pero no es exacta: se deja fuera todos los demás puntos del segmento $\overline{AB}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[0,3}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{vale}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo?}}$

El menor de los tres valores calculados en los vértices es el que da el mínimo de la función.

$F_{\min }=16$

El mínimo de la función vale $16$, y se alcanza en todos los puntos del segmento que une $A(0,6)$ con $B(3,0)$.