Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

B.1 [hasta 2,5 puntos]
Una pastelería elabora dos tipos de trufas: dulces y amargas. Cada trufa dulce lleva 20 gr de cacao, 20 gr de nata y 30 gr de azúcar y se vende a 1 € la unidad. Cada trufa amarga lleva 100 gr de cacao, 20 gr de nata y 15 gr de azúcar y se vende a 1,3 € la unidad.

	Cacao	Nata	Azúcar	Precio Trufa dulce	20 gr	20 gr	30 gr	1 € Trufa amarga	100 gr	20 gr	15 gr	1,3 € DISPONIBILIDAD	30 kg	8 kg	10,5 kg

Un día determinado, la pastelería sólo dispone de 30 kg de cacao, 8 kg de nata y 10,5 kg de azúcar.
Sabiendo que se vende todo lo que se elabora:

a) [2,2 puntos] ¿Cuántas trufas de cada tipo deben elaborarse ese día para maximizar los ingresos?
b) [0,3 puntos] ¿A cuánto asciende dicho ingreso máximo?

Se nombran las variables de decisión y se pasan a gramos todas las disponibilidades, para que las unidades de la tabla y las de las restricciones coincidan.

$x=\text{trufas dulces},y=\text{trufas amargas}$

$30\text{ kg}=30000\text{ g},8\text{ kg}=8000\text{ g},\mathrm{10,5}\text{ kg}=10500\text{ g}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[2,2}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntas}}\mathbf{\text{trufas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{deben}}\mathbf{\text{elaborarse}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{maximizar}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{ingresos?}}$

La función objetivo es el ingreso por la venta de todas las trufas elaboradas, y las restricciones son las tres materias primas más la no negatividad de las variables.

$f(x,y)=x+\mathrm{1,3}y$

$\{\begin{array}{l}20x+100y\le 30000\\ 20x+20y\le 8000\\ 30x+15y\le 10500\\ x\ge 0,y\ge 0\end{array}$

Se simplifica cada restricción dividiendo entre el factor común de sus coeficientes:

$\{\begin{array}{l}x+5y\le 1500\\ x+y\le 400\\ 2x+y\le 700\\ x\ge 0,y\ge 0\end{array}$

El origen cumple las tres desigualdades, de modo que la región factible queda por debajo de las tres rectas dentro del primer cuadrante. Tres vértices se leen de los ejes: el origen $A(0,0)$; sobre el eje de ordenadas manda la restricción del cacao, $B(0,300)$; y sobre el de abscisas manda la del azúcar, $E(350,0)$. Los otros dos salen de cortar rectas dos a dos.

Vértice $C$, corte de las rectas del cacao y de la nata:

$\{\begin{array}{l}x+y=400\\ x+5y=1500\end{array}\Rightarrow x=400-y$

$400-y+5y=1500\Rightarrow 4y=1100\Rightarrow y=275$

$x=400-275=125\Rightarrow C(125,275)$

Vértice $D$, corte de las rectas de la nata y del azúcar:

$\{\begin{array}{l}x+y=400\\ 2x+y=700\end{array}\Rightarrow (2x+y)-(x+y)=700-400\Rightarrow x=300$

$y=400-300=100\Rightarrow D(300,100)$



Por el teorema fundamental de la programación lineal, el máximo se alcanza en un vértice, así que se evalúa la función objetivo en los cinco.

$\{\begin{array}{l}f(0,0)=0\\ f(0,300)=\mathrm{1,3}\cdot 300=390\\ f(125,275)=125+\mathrm{1,3}\cdot 275=125+\mathrm{357,5}=\mathrm{482,5}\\ f(300,100)=300+\mathrm{1,3}\cdot 100=430\\ f(350,0)=350\end{array}$

Deben elaborarse $125$ trufas dulces y $275$ trufas amargas.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[0,3}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{¿A}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{asciende}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{ingreso}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo?}}$

El ingreso máximo es el valor que toma la función objetivo en el vértice $C$.

$f(125,275)=125+\mathrm{1,3}\cdot 275=\mathrm{482,5}$

El ingreso máximo asciende a $\mathrm{482,5}$ euros.