Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

PROBLEMA 1. (2 puntos)
Una empresa que prepara cestas de Navidad dispone de 2400 tabletas de turrón del blando y 1500 tabletas de turrón del duro. La empresa prepara dos tipos de cestas, A y B. Las cestas del tipo A contienen 2 tabletas de turrón del blando y 1 tableta de turrón del duro. Con cada una de estas cestas la empresa obtiene un beneficio de 20 euros. Las cestas del tipo B contienen 2 tabletas de turrón del blando y 3 tabletas de turrón del duro, y con cada una de estas cestas la empresa obtiene un beneficio de 30 euros. Se quiere conocer cuántas cestas de cada tipo hay que preparar y vender para que el beneficio sea máximo.

(a) (0,75 puntos) Di cuál es la función objetivo y cuáles son las restricciones.
(b) (0,75 puntos) Dibuja la región factible.
(c) (0,5 puntos) ¿Cuántas cestas de cada tipo se tendrán que preparar y vender para obtener el mayor beneficio? ¿Cuál será dicho beneficio?

Se empieza nombrando las variables de decisión y ordenando en una tabla los datos del enunciado, que es lo que permite después escribir las restricciones sin equivocarse de coeficiente.

$x=\text{n}\acute{\text{u}}\text{mero de cestas del tipo }A$

$y=\text{n}\acute{\text{u}}\text{mero de cestas del tipo }B$

$$	$\text{Turr}\acute{\text{o}}\text{n blando}$	$\text{Turr}\acute{\text{o}}\text{n duro}$	$\text{Beneficio}$ Cesta $A$	2	1	20 € Cesta $B$	2	3	30 € Disponible	2400	1500	$$

$\mathbf{\text{(a)}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{Di}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{objetivo}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{les}}\mathbf{\text{son}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{restricciones.}}$

La función objetivo es el beneficio total que se obtiene al vender las cestas, y es la que se quiere hacer máxima.

$f(x,y)=20x+30y$

Las restricciones salen de las tabletas disponibles de cada clase de turrón: las cestas preparadas no pueden gastar más turrón del que hay. A ellas se añaden las restricciones de no negatividad, porque no tiene sentido preparar un número negativo de cestas.

$\{\begin{array}{l}2x+2y\le 2400\\ x+3y\le 1500\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}$

La primera restricción se simplifica dividiendo entre $2$:

$\{\begin{array}{l}x+y\le 1200\\ x+3y\le 1500\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}$

La función objetivo es $f(x,y)=20x+30y$ y las restricciones son las cuatro anteriores.

$\mathbf{\text{(b)}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{Dibuja}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{factible.}}$

Cada restricción se dibuja sustituyendo la desigualdad por una igualdad, que es una recta, y quedándose después con el semiplano correspondiente. Basta con dar dos puntos de cada recta.

$x+y=1200\Rightarrow \text{ pasa por }(1200,0)\text{ y }(0,1200)$

$x+3y=1500\Rightarrow \text{ pasa por }(1500,0)\text{ y }(0,500)$

El origen cumple las dos desigualdades, ya que $0\le 1200$ y $0\le 1500$, así que la región factible es la que queda por debajo de las dos rectas dentro del primer cuadrante.

De los cuatro vértices, tres se leen directamente de los ejes, $O(0,0)$, $A(0,500)$ y $C(1200,0)$. El cuarto es el corte de las dos rectas, y se obtiene resolviendo el sistema que forman.

$\{\begin{array}{l}x+y=1200\\ x+3y=1500\end{array}$

$(x+3y)-(x+y)=1500-1200\Rightarrow 2y=300\Rightarrow y=150$

$x=1200-y=1200-150=1050\Rightarrow B(1050,150)$

La región factible es el cuadrilátero de vértices $O(0,0)$, $A(0,500)$, $B(1050,150)$ y $C(1200,0)$.



$\mathbf{\text{(c)}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntas}}\mathbf{\text{cestas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{tendr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{preparar}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{vender}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{obtener}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{mayor}}\mathbf{\text{beneficio?}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{beneficio?}}$

Por el teorema fundamental de la programación lineal, el máximo de una función objetivo lineal sobre un recinto convexo y acotado se alcanza siempre en uno de sus vértices. Basta, por tanto, evaluar $f$ en los cuatro y quedarse con el mayor valor.

$\{\begin{array}{l}f(0,0)=20\cdot 0+30\cdot 0=0\text{ euros}\\ f(0,500)=20\cdot 0+30\cdot 500=15000\text{ euros}\\ f(1050,150)=20\cdot 1050+30\cdot 150=25500\text{ euros}\\ f(1200,0)=20\cdot 1200+30\cdot 0=24000\text{ euros}\end{array}$

El mayor de los cuatro valores se alcanza en el vértice $B(1050,150)$.

La empresa debe preparar y vender $1050$ cestas del tipo $A$ y $150$ cestas del tipo $B$, con lo que obtiene un beneficio máximo de $25500$ euros.