Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Una cooperativa de agricultores vende naranjas y mandarinas en dos tipos de cajas. La caja A contiene 8 kg de naranjas y 2 kg de mandarinas, y la caja B contiene 5 kg de naranjas y 5 kg de mandarinas. Este año la producción de naranjas ha sido de 24.000 kg y la de mandarinas, de 12.000 kg. El precio de venta de las naranjas es de 0,60 €/kg y el de las mandarinas, de 0,70 €/kg.

Los agricultores de la cooperativa quieren saber cuántas cajas de cada tipo han de vender para maximizar los ingresos.

a) Determine la función objetivo y las restricciones. Dibuje la región factible. [1,25 puntos]

b) Determine cuántas cajas de cada tipo hay que vender para obtener el máximo de ingresos y cuáles serían estos ingresos. [1,25 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{objetivo}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{restricciones.}}\mathbf{\text{Dibuje}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{factible.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Llamamos $x$ al número de cajas de tipo A e $y$ al número de cajas de tipo B. Hacemos una tabla para ordenar toda la información del ejercicio.

$$	$\text{Kg de naranjas}$	$\text{Kg de mandarinas}$	$\text{Ingresos}$ Cajas A (x)	8x	2x	6,2x Cajas B (y)	5y	5y	6,5y Totales	8x + 5y	2x + 5y	6,2x + 6,5y

El ingreso de cada caja es el que se obtiene vendiendo la fruta que lleva dentro:

$\text{Caja A}\Rightarrow 8\cdot \mathrm{0,60}+2\cdot \mathrm{0,70}=\mathrm{4,80}+\mathrm{1,40}=\mathrm{6,20}\text{ €}$

$\text{Caja B}\Rightarrow 5\cdot \mathrm{0,60}+5\cdot \mathrm{0,70}=\mathrm{3,00}+\mathrm{3,50}=\mathrm{6,50}\text{ €}$

La función objetivo que queremos maximizar es el ingreso total:

$I(x,y)=\mathrm{6,2}x+\mathrm{6,5}y$

Las restricciones del problema son:

La producción de naranjas es de 24.000 kg $\Rightarrow$ $8x+5y\le 24000$.

La producción de mandarinas es de 12.000 kg $\Rightarrow$ $2x+5y\le 12000$.

El número de cajas no puede ser negativo $\Rightarrow$ $x\ge 0;y\ge 0$.

Reunimos todas las restricciones en un sistema de inecuaciones:

$\{\begin{array}{l}8x+5y\le 24000\\ 2x+5y\le 12000\\ x\ge 0;y\ge 0\end{array}$

Para representar la región factible empezamos dibujando las rectas que la delimitan:

$8x+5y=24000\Rightarrow y={\displaystyle \frac{24000-8x}{5}}$

$2x+5y=12000\Rightarrow y={\displaystyle \frac{12000-2x}{5}}$

La región factible es la zona coloreada en azul, en el primer cuadrante y por debajo de las dos rectas.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntas}}\mathbf{\text{cajas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{vender}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{obtener}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ingresos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{les}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{an}}\mathbf{\text{estos}}\mathbf{\text{ingresos.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Las coordenadas de los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones correspondientes.

Vértice $O$:

$\{\begin{array}{l}x=0\\ y=0\end{array}\Rightarrow O(0,0)$

Vértice $A$:

$\{\begin{array}{l}8x+5y=24000\\ y=0\end{array}\Rightarrow 8x=24000\Rightarrow x=3000\Rightarrow A(3000,0)$

Vértice $B$:

$\{\begin{array}{l}2x+5y=12000\\ x=0\end{array}\Rightarrow 5y=12000\Rightarrow y=2400\Rightarrow B(0,2400)$

Vértice $C$:

$\{\begin{array}{l}8x+5y=24000\\ 2x+5y=12000\end{array}$

Restando la segunda ecuación de la primera:

$6x=12000\Rightarrow x=2000\Rightarrow 5y=12000-4000=8000\Rightarrow y=1600\Rightarrow C(2000,1600)$

Valoramos la función de ingresos $I(x,y)=\mathrm{6,2}x+\mathrm{6,5}y$ en cada uno de los vértices en busca del máximo:

$O(0,0)\Rightarrow I(0,0)=0$

$A(3000,0)\Rightarrow I(3000,0)=\mathrm{6,2}\cdot 3000=18600$

$B(0,2400)\Rightarrow I(0,2400)=\mathrm{6,5}\cdot 2400=15600$

$C(2000,1600)\Rightarrow I(2000,1600)=\mathrm{6,2}\cdot 2000+\mathrm{6,5}\cdot 1600=12400+10400=22800$

El ingreso máximo se produce en el vértice $C(2000,1600)$.

La cooperativa ha de vender $2000$ cajas de tipo A y $1600$ cajas de tipo B, con lo que obtendrá unos ingresos máximos de $22.800$ €.