Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Una empresa se propone hacer dos tipos de cestas de Navidad, A y B, para los trabajadores y las trabajadoras. Cada cesta de tipo A contendrá 1 jamón, 1 botella de cava y 5 barras de turrón. Por otra parte, cada cesta de tipo B contendrá 2 jamones, 3 botellas de cava y 2 barras de turrón. El jefe de almacén afirma que disponen de 40 jamones, 120 barras de turrón y muchas botellas de cava, y que, por tanto, de cava seguro que no faltará. Se quieren hacer tantas cestas como sea posible.

a) Determine la función objetivo y las restricciones. Dibuje la región factible. ¿Cuántas cestas de cada tipo tendrá que hacer la empresa? [1,75 puntos]

b) Una vez hecho el cálculo, la jefa de la empresa se lo repiensa y dice que es mejor hacer la misma cantidad de cestas de cada tipo. Con esta nueva condición, ¿cuántas cestas de cada tipo se tendrán que hacer? [0,75 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{objetivo}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{restricciones.}}\mathbf{\text{Dibuje}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{factible.}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntas}}\mathbf{\text{cestas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{tendr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{hacer}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{empresa?}}\mathbf{\text{(1,75}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Llamamos $x$ al número de cestas de tipo A e $y$ al número de cestas de tipo B. Hacemos una tabla para ordenar toda la información del ejercicio.

$$	$\text{Jamones}$	$\text{Barras de turr}\acute{\text{o}}\text{n}$ Cestas A (x)	x	5x Cestas B (y)	2y	2y Totales	x + 2y	5x + 2y

Se quieren hacer tantas cestas como sea posible, de manera que la función objetivo que hay que maximizar es el número total de cestas:

$N(x,y)=x+y$

Las restricciones del problema son:

Solo hay 40 jamones $\Rightarrow$ $x+2y\le 40$.

Solo hay 120 barras de turrón $\Rightarrow$ $5x+2y\le 120$.

El cava no impone ninguna restricción, porque el enunciado dice que no faltará.

El número de cestas no puede ser negativo $\Rightarrow$ $x\ge 0;y\ge 0$.

Reunimos todas las restricciones en un sistema de inecuaciones:

$\{\begin{array}{l}x+2y\le 40\\ 5x+2y\le 120\\ x\ge 0;y\ge 0\end{array}$

Para representar la región factible empezamos dibujando las rectas que la delimitan:

$x+2y=40\Rightarrow y={\displaystyle \frac{40-x}{2}}$

$5x+2y=120\Rightarrow y={\displaystyle \frac{120-5x}{2}}$

La región factible es la zona coloreada en azul, en el primer cuadrante y por debajo de las dos rectas.



Las coordenadas de los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones correspondientes.

Vértice $O$:

$\{\begin{array}{l}x=0\\ y=0\end{array}\Rightarrow O(0,0)$

Vértice $A$:

$\{\begin{array}{l}5x+2y=120\\ y=0\end{array}\Rightarrow 5x=120\Rightarrow x=24\Rightarrow A(24,0)$

Vértice $B$:

$\{\begin{array}{l}x+2y=40\\ x=0\end{array}\Rightarrow 2y=40\Rightarrow y=20\Rightarrow B(0,20)$

Vértice $C$:

$\{\begin{array}{l}x+2y=40\\ 5x+2y=120\end{array}$

Restando la primera ecuación de la segunda:

$4x=80\Rightarrow x=20\Rightarrow 2y=40-20=20\Rightarrow y=10\Rightarrow C(20,10)$

Valoramos la función $N(x,y)=x+y$ en cada uno de los vértices en busca del máximo:

$O(0,0)\Rightarrow N(0,0)=0$

$A(24,0)\Rightarrow N(24,0)=24$

$B(0,20)\Rightarrow N(0,20)=20$

$C(20,10)\Rightarrow N(20,10)=30$

El número máximo de cestas se alcanza en el vértice $C(20,10)$.

La empresa tendrá que hacer $20$ cestas de tipo A y $10$ de tipo B, con lo que se preparan $30$ cestas en total.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Una}}\mathbf{\text{vez}}\mathbf{\text{hecho}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{c}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{lculo,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{jefa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{empresa}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{lo}}\mathbf{\text{repiensa}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{dice}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{mejor}}\mathbf{\text{hacer}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{misma}}\mathbf{\text{cantidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cestas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{tipo.}}\mathbf{\text{Con}}\mathbf{\text{esta}}\mathbf{\text{nueva}}\mathbf{\text{condici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntas}}\mathbf{\text{cestas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{tendr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{hacer?}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{puntos)}}$

La nueva condición añade la restricción $x=y$, así que se buscan los puntos de la región factible que están sobre esa recta. Sustituimos en las dos restricciones.

$x+2x\le 40\Rightarrow 3x\le 40\Rightarrow x\le {\displaystyle \frac{40}{3}}=\mathrm{13,33}\dots$

$5x+2x\le 120\Rightarrow 7x\le 120\Rightarrow x\le {\displaystyle \frac{120}{7}}=\mathrm{17,14}\dots$

Las dos condiciones han de cumplirse a la vez, de modo que manda la más restrictiva: $x\le \mathrm{13,33}$. Como el número de cestas ha de ser entero, el mayor valor posible es $x=13$.

Comprobamos que con 13 cestas de cada tipo hay existencias suficientes:

$\text{Jamones}=13+2\cdot 13=39\le 40$

$\text{Turr}\acute{\text{o}}\text{n}=5\cdot 13+2\cdot 13=91\le 120$

Con la nueva condición hay que hacer $13$ cestas de tipo A y $13$ de tipo B, es decir, $26$ cestas en total.