Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Para organizar un evento social, queremos contratar el transporte con una empresa que nos ofrece autocares y minibuses.

— Cada autocar tiene una capacidad de 50 viajeros y un precio de 100 €.

— Cada minibús tiene una capacidad de 30 viajeros y un precio de 55 €.

Podemos contratar tantos autocares como queramos, y hasta 8 minibuses. Por limitaciones en el número de conductores, solo podemos contratar 11 vehículos. Si queremos asegurar el transporte para al menos 450 personas, ¿cuál es la combinación más ventajosa y qué coste tiene? [3 puntos]

$\mathbf{\text{Podemos}}\mathbf{\text{contratar}}\mathbf{\text{tantos}}\mathbf{\text{autocares}}\mathbf{\text{como}}\mathbf{\text{queramos,}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{hasta}}\mathbf{\text{8}}\mathbf{\text{minibuses.}}\mathbf{\text{Por}}\mathbf{\text{limitaciones}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{conductores,}}\mathbf{\text{solo}}\mathbf{\text{podemos}}\mathbf{\text{contratar}}\mathbf{\text{11}}\mathbf{\text{veh}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{culos.}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{queremos}}\mathbf{\text{asegurar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{transporte}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{450}}\mathbf{\text{personas,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{combinaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{ventajosa}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{coste}}\mathbf{\text{tiene?}}\mathbf{\text{[3}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Llamamos $x$ al número de autocares que se contratan e $y$ al número de minibuses.

Hacemos una tabla para ordenar toda la información del enunciado.

$$	$\text{Plazas}$	$\text{Coste (€)}$ $\text{Autocares }(x)$	$50x$	$100x$ $\text{Minibuses }(y)$	$30y$	$55y$ $\text{Totales}$	$50x+30y$	$100x+55y$

La función objetivo es el coste del transporte, y como se busca la combinación más ventajosa hay que minimizarla.

$C(x,y)=100x+55y$

Escribimos ahora las restricciones.

Hay que transportar al menos 450 personas $\Rightarrow$ $50x+30y\ge 450$, que dividiendo entre 10 queda $5x+3y\ge 45$.

Se pueden contratar hasta 8 minibuses $\Rightarrow$ $y\le 8$.

Solo se pueden contratar 11 vehículos en total $\Rightarrow$ $x+y\le 11$.

El número de vehículos de cada clase no puede ser negativo $\Rightarrow$ $x\ge 0;y\ge 0$.

Reunimos todas las restricciones en un sistema de inecuaciones:

$\{\begin{array}{l}5x+3y\ge 45\\ x+y\le 11\\ y\le 8\\ x\ge 0;y\ge 0\end{array}$

Para representar la región factible empezamos dibujando las rectas que la delimitan y hacemos una tabla de valores de cada una.

$5x+3y=45\Rightarrow y={\displaystyle \frac{45-5x}{3}}$

$x+y=11\Rightarrow y=11-x$

$5x+3y=45$	$x+y=11$ $(9,0)$	$(11,0)$ $(6,5)$	$(6,5)$

La recta $y=8$ es horizontal y no llega a cortar el recinto, porque con 8 minibuses y los autocares que caben dentro del límite de 11 vehículos no se alcanzan las 450 plazas. La región factible es la zona coloreada en azul, y es un triángulo.



Las coordenadas de los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones de las rectas que se cortan en cada uno.

Vértice $A$:

$\{\begin{array}{l}5x+3y=45\\ x+y=11\end{array}$ $\Rightarrow$ despejamos $y=11-x$ y sustituimos:

$5x+3(11-x)=45\Rightarrow 2x+33=45\Rightarrow 2x=12\Rightarrow x=6$

$y=11-6=5\Rightarrow A(6,5)$

Vértice $B$:

$\{\begin{array}{l}5x+3y=45\\ y=0\end{array}$ $\Rightarrow 5x=45\Rightarrow x=9\Rightarrow B(9,0)$

Vértice $C$:

$\{\begin{array}{l}x+y=11\\ y=0\end{array}$ $\Rightarrow x=11\Rightarrow C(11,0)$

Valoramos la función coste en cada uno de los vértices en busca del coste mínimo.

$A(6,5)\Rightarrow C(6,5)=100\cdot 6+55\cdot 5=600+275=875$

$B(9,0)\Rightarrow C(9,0)=100\cdot 9=900$

$C(11,0)\Rightarrow C(11,0)=100\cdot 11=1100$

El coste mínimo se alcanza en el vértice $A(6,5)$. Comprobamos que esa combinación cumple todas las restricciones:

$50\cdot 6+30\cdot 5=300+150=450\ge 450$ plazas, $6+5=11\le 11$ vehículos y $5\le 8$ minibuses.

La combinación más ventajosa es contratar 6 autocares y 5 minibuses, con lo que se cubren exactamente las 450 plazas necesarias, y su coste es de 875 €.