Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Un cliente nos pide ayuda para invertir un máximo de 10.000 € en dos productos de inversión diferentes: acciones y bonos. El cliente quiere invertir al menos la misma cantidad en acciones que en bonos. Además, quiere invertir entre 2.000 € y 8.000 € en bonos, y entre 4.000 € y 6.000 € en acciones.

El interés previsto para las acciones es de un 6 % anual, mientras que para los bonos es de un 2 % anual.

a) Plantee la maximización del interés previsto por las inversiones como un problema de programación lineal. [3 puntos]

b) Dibuje la región factible, indicando las rectas y los vértices que la delimitan. [5 puntos]

c) ¿Cuál debería ser la inversión en cada tipo de producto para maximizar el interés anual previsto? ¿Cuánto dinero se generaría con esta inversión? [2 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Plantee}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{maximizaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{inter}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{previsto}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{inversiones}}\mathbf{\text{como}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{problema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{programaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{lineal.}}\mathbf{\text{[3}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Llamamos $x$ a los euros invertidos en acciones e $y$ a los euros invertidos en bonos.

Hacemos una tabla para ordenar toda la información del enunciado.

$$	$\text{Inversi}\acute{\text{o}}\text{n (€)}$	$\text{Inter}\acute{\text{e}}\text{s anual}$	$\text{L}\acute{\text{ı}}\text{mites (€)}$ Acciones	$x$	$\mathrm{0,06}x$	de 4000 a 6000 Bonos	$y$	$\mathrm{0,02}y$	de 2000 a 8000 Totales	$x+y$	$\mathrm{0,06}x+\mathrm{0,02}y$	máximo 10000

La función objetivo es el interés anual previsto, y hay que maximizarla.

$I(x,y)=\mathrm{0,06}x+\mathrm{0,02}y$

Las restricciones son las siguientes.

Se invierte un máximo de 10000 € en total $\Rightarrow$ $x+y\le 10000$.

Al menos la misma cantidad en acciones que en bonos $\Rightarrow$ $x\ge y$.

Entre 2000 € y 8000 € en bonos $\Rightarrow$ $2000\le y\le 8000$.

Entre 4000 € y 6000 € en acciones $\Rightarrow$ $4000\le x\le 6000$.

El problema de programación lineal queda así:

$\text{Maximizar }I(x,y)=\mathrm{0,06}x+\mathrm{0,02}y\text{sujeto a}\{\begin{array}{l}x+y\le 10000\\ x\ge y\\ 2000\le y\le 8000\\ 4000\le x\le 6000\end{array}$

Las condiciones $x\ge 0$ e $y\ge 0$ no hace falta añadirlas: ya están implicadas por las cotas inferiores 4000 y 2000.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Dibuje}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{factible,}}\mathbf{\text{indicando}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{rectas}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{v}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rtices}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{delimitan.}}\mathbf{\text{[5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Las rectas que delimitan el recinto son las que se obtienen al convertir cada inecuación en igualdad. La restricción $y\le 8000$ no llega a delimitar nada, porque las otras condiciones ya obligan a que $y\le 5000$; por eso no aparece en el dibujo.

$\text{Restricci}\acute{\text{o}}\text{n}$	$\text{Recta}$ $x+y\le 10000$	$y=10000-x$ $x\ge y$	$y=x$ $y\ge 2000$	$y=2000$ $x\ge 4000$	$x=4000$ $x\le 6000$	$x=6000$

La región factible es la zona coloreada en azul: un pentágono.



Las coordenadas de los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de las dos rectas que se cortan en cada uno.

Vértice $A$: $\{\begin{array}{l}x=4000\\ y=2000\end{array}\Rightarrow A(4000,2000)$

Vértice $B$: $\{\begin{array}{l}x=6000\\ y=2000\end{array}\Rightarrow B(6000,2000)$

Vértice $C$: $\{\begin{array}{l}x=6000\\ x+y=10000\end{array}\Rightarrow y=10000-6000=4000\Rightarrow C(6000,4000)$

Vértice $D$: $\{\begin{array}{l}y=x\\ x+y=10000\end{array}\Rightarrow 2x=10000\Rightarrow x=5000\Rightarrow D(5000,5000)$

Vértice $E$: $\{\begin{array}{l}x=4000\\ y=x\end{array}\Rightarrow E(4000,4000)$

La región factible es el pentágono de vértices $A(4000,2000)$, $B(6000,2000)$, $C(6000,4000)$, $D(5000,5000)$ y $E(4000,4000)$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{deber}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{ser}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{inversi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{producto}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{maximizar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{inter}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{anual}}\mathbf{\text{previsto?}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{dinero}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{generar}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{esta}}\mathbf{\text{inversi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n?}}\mathbf{\text{[2}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Por el teorema fundamental de la programación lineal, el máximo de una función objetivo lineal sobre un recinto convexo y acotado se alcanza en un vértice. Valoramos la función interés en los cinco.

$A(4000,2000)\Rightarrow I=\mathrm{0,06}\cdot 4000+\mathrm{0,02}\cdot 2000=240+40=280$

$B(6000,2000)\Rightarrow I=\mathrm{0,06}\cdot 6000+\mathrm{0,02}\cdot 2000=360+40=400$

$C(6000,4000)\Rightarrow I=\mathrm{0,06}\cdot 6000+\mathrm{0,02}\cdot 4000=360+80=440$

$D(5000,5000)\Rightarrow I=\mathrm{0,06}\cdot 5000+\mathrm{0,02}\cdot 5000=300+100=400$

$E(4000,4000)\Rightarrow I=\mathrm{0,06}\cdot 4000+\mathrm{0,02}\cdot 4000=240+80=320$

El mayor de los cinco valores se da en $C(6000,4000)$. Es lo esperable: las acciones rentan el triple que los bonos, así que conviene llevar la inversión en acciones a su tope de 6000 € y gastar el resto del presupuesto en bonos.

Hay que invertir 6000 € en acciones y 4000 € en bonos, agotando los 10000 € disponibles. Con esa inversión se generarían 440 € de intereses al año.