Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

PROBLEMA 1 [2,5 puntos]
La elaboración de tapices es un arte que se transmite de generación en generación, por lo que la mayoría de los maestros tejedores tienen experiencia en tapicería tradicional y están capacitados para aprender las técnicas y procesos.
Con el fin de planificar la producción de estas pequeñas obras de arte, un fabricante egipcio organiza las necesidades de materia prima por meses y las unidades producidas por metro lineal. En un determinado mes dispone de 50 kg de hilo de seda, 40 kg de hilo de plata y 22,5 kg de hilo de oro.
Para crear algunos tapices se suelen necesitar días y emplear materiales más económicos (tipo A); otros, en cambio, se suelen tardar semanas y requerir de materiales de mayor calidad y coste para su creación (tipo B); pero todos ellos necesitan la paciencia y la atención de los expertos en los detalles para convertirse en una pieza de artesanía.
Para fabricar un metro lineal de tapiz del tipo A se necesitan 100 g de hilo de seda y 200 g de hilo de plata; y para cada metro lineal del tipo B, 200 g de hilo de seda, 100 g de hilo de plata y 100 g de hilo de oro.
El metro lineal de tapiz del tipo A se vende a 2.000 €, y en el caso del tipo B a 3.000 €.
Si se vende todo lo que se fabrica:

a) [1,6 puntos] ¿Cuántos metros lineales de cada tipo de tapiz deben elaborarse ese mes para maximizar los ingresos?
b) [0,3 puntos] ¿A cuánto asciende dicho ingreso máximo?
c) [0,6 puntos] ¿Qué cantidades de hilo de seda, plata y oro quedarán cuando se fabriquen los metros lineales de cada tipo de tapiz que generan el ingreso máximo?

Se nombran las variables de decisión y se ordenan en una tabla los consumos de materia prima, pasando todas las cantidades a gramos para que no se mezclen unidades.

$x=\text{metros lineales de tapiz del tipo }A$

$y=\text{metros lineales de tapiz del tipo }B$

$$	$\text{Seda (g)}$	$\text{Plata (g)}$	$\text{Oro (g)}$	$\text{Precio}$ Tipo $A$	100	200	0	2000 € Tipo $B$	200	100	100	3000 € Disponible	50 000	40 000	22 500	$$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[1,6}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{metros}}\mathbf{\text{lineales}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tapiz}}\mathbf{\text{deben}}\mathbf{\text{elaborarse}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{mes}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{maximizar}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{ingresos?}}$

La función objetivo son los ingresos por la venta de todo lo fabricado, y las restricciones son las tres materias primas disponibles más la no negatividad de las variables.

$f(x,y)=2000x+3000y$

$\{\begin{array}{l}100x+200y\le 50000\\ 200x+100y\le 40000\\ 100y\le 22500\\ x\ge 0,y\ge 0\end{array}$

Se simplifican las tres primeras dividiendo entre $100$:

$\{\begin{array}{l}x+2y\le 500\\ 2x+y\le 400\\ y\le 225\\ x\ge 0,y\ge 0\end{array}$

El origen cumple las tres desigualdades, de modo que la región factible queda por debajo de las tres rectas dentro del primer cuadrante. Sus vértices son los puntos $O(0,0)$, $A(200,0)$ y $D(0,225)$, que se leen de los ejes, más los dos que salen de cortar las rectas dos a dos.

Corte de la recta de la seda con la de la plata:

$\{\begin{array}{l}x+2y=500\\ 2x+y=400\end{array}\Rightarrow x=500-2y$

$2(500-2y)+y=400\Rightarrow 1000-3y=400\Rightarrow y=200$

$x=500-2\cdot 200=100\Rightarrow B(100,200)$

Corte de la recta de la seda con la del oro:

$\{\begin{array}{l}x+2y=500\\ y=225\end{array}\Rightarrow x=500-450=50\Rightarrow C(50,225)$



Por el teorema fundamental de la programación lineal, el máximo se alcanza en un vértice, así que se evalúa la función objetivo en los cinco.

$\{\begin{array}{l}f(0,0)=0\\ f(200,0)=2000\cdot 200=400000\\ f(100,200)=2000\cdot 100+3000\cdot 200=800000\\ f(50,225)=2000\cdot 50+3000\cdot 225=775000\\ f(0,225)=3000\cdot 225=675000\end{array}$

Deben elaborarse $100$ metros lineales de tapiz del tipo $A$ y $200$ metros lineales del tipo $B$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[0,3}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{¿A}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{asciende}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{ingreso}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo?}}$

El ingreso máximo es el valor que toma la función objetivo en ese vértice, ya calculado en el apartado anterior.

$f(100,200)=2000\cdot 100+3000\cdot 200=200000+600000=800000$

El ingreso máximo asciende a $800000$ euros.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{[0,6}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{cantidades}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{hilo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{seda,}}\mathbf{\text{plata}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{oro}}\mathbf{\text{quedar}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{cuando}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{fabriquen}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{metros}}\mathbf{\text{lineales}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tapiz}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{generan}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{ingreso}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo?}}$

Basta calcular cuánto hilo de cada clase consume la producción óptima y restarlo de lo disponible.

$\text{Seda}:100\cdot 100+200\cdot 200=10000+40000=50000\text{ g}$

$\text{Plata}:200\cdot 100+100\cdot 200=20000+20000=40000\text{ g}$

$\text{Oro}:100\cdot 200=20000\text{ g}$

$\{\begin{array}{l}\text{Sobra de seda}=50000-50000=0\text{ g}\\ \text{Sobra de plata}=40000-40000=0\text{ g}\\ \text{Sobra de oro}=22500-20000=2500\text{ g}\end{array}$

Este resultado era previsible: el vértice óptimo $B(100,200)$ es precisamente el corte de las rectas de la seda y de la plata, así que las dos restricciones se cumplen con igualdad y esas dos materias primas se agotan.

No queda hilo de seda ni hilo de plata, y del hilo de oro sobran $2500$ gramos, es decir, $\mathrm{2,5}\text{ kg}$.