Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Pregunta 2. El aforo de un local en el que se ofrecerá un espectáculo infantil es de 180 personas. En global, el número de adultos debe ser, al menos, la cuarta parte del número de menores y el número de menores, al menos, la mitad del número de adultos. Si no asisten, al menos, 45 personas, el espectáculo se cancelará. Cada entrada infantil cuesta 10 euros y cada una de adulto, 18 euros.
a) [1.75 puntos] ¿Cuántos adultos y cuántos menores pueden asistir al espectáculo? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. ¿Podrían asistir 40 adultos y 35 niños?
b) [0.75 puntos] Para maximizar ingresos, ¿Cuántos adultos y cuántos menores deberían asistir? ¿Cuáles serían los ingresos en ese caso?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{adultos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{menores}}\mathbf{\text{pueden}}\mathbf{\text{asistir}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{espect}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{culo?}}\mathbf{\text{Plantea}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{problema}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{representa}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficamente}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{conjunto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{soluciones.}}\mathbf{\text{¿Podr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{an}}\mathbf{\text{asistir}}\mathbf{\text{40}}\mathbf{\text{adultos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{35}}\mathbf{\text{ni}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os?}}\mathbf{\text{[1,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se llama $x$ al número de adultos e $y$ al de menores. El aforo pone un techo, la cancelación un suelo y las dos condiciones de proporción, las diagonales:

$\{\begin{array}{ll}x+y\le 180& \text{aforo del local}\\ x+y\ge 45& \text{si no, se cancela}\\ x\ge {\displaystyle \frac{y}{4}}& \text{adultos, al menos la cuarta parte de los menores}\\ y\ge {\displaystyle \frac{x}{2}}& \text{menores, al menos la mitad de los adultos}\\ x\ge 0,y\ge 0& \end{array}$

Las dos últimas se dibujan mejor despejadas: $y\le 4x$ e $y\ge \frac{x}{2}$.



El recinto es un cuadrilátero, atrapado entre las dos rectas de proporción y las dos de aforo. Sus vértices salen de cortarlas dos a dos:

$x+y=45$ con $y=4x$: $5x=45⟹A(9,36)$

$x+y=45$ con $y=\frac{x}{2}$: $\mathrm{1,5}x=45⟹B(30,15)$

$x+y=180$ con $y=\frac{x}{2}$: $\mathrm{1,5}x=180⟹C(120,60)$

$x+y=180$ con $y=4x$: $5x=180⟹D(36,144)$

Para la pregunta concreta, 40 adultos y 35 niños suman 75 personas (entre 45 y 180), cumplen $35\le 4\cdot 40=160$ y cumplen $35\ge \frac{40}{2}=20$. Por tanto, $\mathbf{\text{s}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}$ podrían asistir: el punto $P(40,35)$ cae dentro del recinto.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Para}}\mathbf{\text{maximizar}}\mathbf{\text{ingresos,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{adultos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{menores}}\mathbf{\text{deber}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{an}}\mathbf{\text{asistir?}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{les}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{an}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{ingresos}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{caso?}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La función objetivo es

$F(x,y)=18x+10y$

y se evalúa en los cuatro vértices:

$F(9,36)=162+360=522F(30,15)=540+150=690$

$F(120,60)=2160+600=2760F(36,144)=648+1440=2088$

El máximo se alcanza en $C(120,60)$: deberían asistir $\mathbf{\text{120}}\mathbf{\text{adultos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{60}}\mathbf{\text{menores}}$, con unos ingresos de $\mathbf{\text{2760}}\mathbf{\text{euros}}$. Tiene sentido: la entrada de adulto es casi el doble de cara, así que interesa llenar el aforo con la mayor proporción de adultos que el reglamento permite, es decir, con el mínimo de menores, $y=\frac{x}{2}$.