Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

B.1. [hasta 2,5 puntos]
Una empresa especializada en la fabricación de mobiliario para casas de muñecas produce mesas y sillas que vende a 20 € y 30 €, respectivamente. La empresa quiere saber cuántas unidades de cada artículo debe fabricar diariamente para maximizar los ingresos, teniendo en cuenta las siguientes restricciones:

• El número total de unidades producidas de ambos artículos no podrá exceder de 4, por día.
• Cada mesa requiere 2 horas para su fabricación y cada silla 3 horas. La jornada laboral máxima es de 10 horas.
• El material utilizado en cada mesa cuesta 4 €, y el utilizado en cada silla 2 €. El presupuesto para material es de 12 € diarios.

	PRECIO	MATERIAL	TIEMPO	UNIDADES MESA	20 €	4 €	2 horas	x SILLA	30 €	2 €	3 horas	y

a) [2,1 puntos] Plantea y resuelve el problema de maximización.
b) [0,4 puntos] Razona si con estas restricciones se puede fabricar diariamente 1 mesa y 1 silla, y si esto le conviene a la empresa.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[2,1}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Plantea}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{resuelve}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{problema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{maximizaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}$

Las variables de decisión son las que ya nombra la tabla del enunciado.

$x=\text{mesas fabricadas al d}\acute{\text{ı}}\text{a},y=\text{sillas fabricadas al d}\acute{\text{ı}}\text{a}$

La función objetivo es el ingreso diario, y las tres restricciones son el número total de unidades, las horas de trabajo y el presupuesto de material.

$f(x,y)=20x+30y$

$\{\begin{array}{l}x+y\le 4\\ 2x+3y\le 10\\ 4x+2y\le 12\\ x\ge 0,y\ge 0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x+y\le 4\\ 2x+3y\le 10\\ 2x+y\le 6\\ x\ge 0,y\ge 0\end{array}$

El origen cumple las tres desigualdades, así que la región factible queda por debajo de las tres rectas dentro del primer cuadrante. Sobre el eje de abscisas manda la restricción del material, y sobre el de ordenadas la del tiempo.

$2x\le 6\Rightarrow x\le 3\Rightarrow D(3,0);3y\le 10\Rightarrow y\le {\displaystyle \frac{10}{3}}\Rightarrow B(0,{\displaystyle \frac{10}{3}})$

El vértice restante es el corte de las rectas, y aquí ocurre algo particular: las tres pasan por el mismo punto.

$\{\begin{array}{l}x+y=4\\ 2x+y=6\end{array}\Rightarrow x=2,y=2$

$2\cdot 2+3\cdot 2=10\Rightarrow C(2,2)\text{tambi}\acute{\text{e}}\text{n est}\acute{\text{a}}\text{ en la recta del tiempo}$



Se evalúa la función objetivo en los cuatro vértices.

$\{\begin{array}{l}f(0,0)=0\\ f(0,\frac{10}{3})=30\cdot \frac{10}{3}=100\\ f(2,2)=20\cdot 2+30\cdot 2=100\\ f(3,0)=20\cdot 3=60\end{array}$

El máximo se alcanza en dos vértices a la vez, $B$ y $C$, y por tanto en todos los puntos del segmento que los une. No es casualidad: sobre la recta del tiempo se cumple

$f(x,y)=20x+30y=10(2x+3y)=10\cdot 10=100$

Ahora bien, el número de mesas y de sillas ha de ser un número natural, y el único punto del segmento $\overline{BC}$ con las dos coordenadas naturales es el propio $C$.

La empresa debe fabricar $2$ mesas y $2$ sillas al día, con lo que obtiene un ingreso máximo de $100$ euros.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[0,4}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Razona}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{estas}}\mathbf{\text{restricciones}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{puede}}\mathbf{\text{fabricar}}\mathbf{\text{diariamente}}\mathbf{\text{1}}\mathbf{\text{mesa}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{1}}\mathbf{\text{silla,}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{esto}}\mathbf{\text{le}}\mathbf{\text{conviene}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{empresa.}}$

Fabricar una mesa y una silla corresponde al punto $(1,1)$, así que basta comprobar si cumple las tres restricciones.

$\{\begin{array}{l}1+1=2\le 4\\ 2\cdot 1+3\cdot 1=5\le 10\\ 2\cdot 1+1=3\le 6\end{array}$

El punto pertenece a la región factible, de modo que la producción es posible. Otra cosa es que interese:

$f(1,1)=20\cdot 1+30\cdot 1=50<100$

Sí se puede fabricar diariamente $1$ mesa y $1$ silla, porque el punto $(1,1)$ está dentro de la región factible, pero no le conviene a la empresa: el ingreso sería de $50$ euros, la mitad del máximo posible.