Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2021

B.2. [hasta 2,5 puntos]
Se considera la función $f(x)=a{x}^3+bx+11$

a) [1 punto] Calcula el valor de los parámetros $a$ y $b$ para que la función $f(x)$ tenga un extremo relativo en el punto $(2,5)$.
b) [0,75 puntos] En el caso $a={\displaystyle \frac{3}{8}}$ y $b={\displaystyle \frac{-9}{2}}$, estudia los extremos relativos y los puntos de inflexión de la función.
c) [0,75 puntos] En el caso $a={\displaystyle \frac{3}{8}}$ y $b={\displaystyle \frac{-9}{2}}$, representa y calcula el área de la región limitada por la función, el eje de abscisas OX y las rectas $x=-2$ y $x=2$.

Que haya un extremo relativo en ese punto impone dos condiciones: la curva pasa por él y la derivada se anula allí.

$f(x)=a{x}^3+bx+11;f^{\mathrm{\prime }}(x)=3a{x}^2+b$

$f(2)=8a+2b+11=5\Rightarrow 8a+2b=-6\Rightarrow 4a+b=-3$

$f^{\mathrm{\prime }}(2)=12a+b=0$

Se restan las dos ecuaciones para eliminar $b$:

$(12a+b)-(4a+b)=0-(-3)\Rightarrow 8a=3\Rightarrow a={\displaystyle \frac{3}{8}}$

$b=-12a=-12\cdot {\displaystyle \frac{3}{8}}=-{\displaystyle \frac{9}{2}}$

Los parámetros son $a=\frac{3}{8}$ y $b=-\frac{9}{2}$, que son precisamente los valores con los que se trabaja en los apartados siguientes.



Con esos valores la función y sus derivadas quedan así:

$f(x)={\displaystyle \frac{3}{8}}{x}^3-{\displaystyle \frac{9}{2}}x+11$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{9}{8}}{x}^2-{\displaystyle \frac{9}{2}};f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{9}{4}}x$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow {\displaystyle \frac{9}{8}}{x}^2={\displaystyle \frac{9}{2}}\Rightarrow x^2=4\Rightarrow x=\pm 2$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(-2)=-{\displaystyle \frac{9}{2}}<0\Rightarrow \text{m}\acute{\text{a}}\text{ximo relativo};f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(2)={\displaystyle \frac{9}{2}}>0\Rightarrow \text{m}\acute{\text{ı}}\text{nimo relativo}$

$f(-2)=-3+9+11=17;f(2)=3-9+11=5$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow x=0;f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{9}{4}}\mathrm{\ne }0\Rightarrow \text{punto de inflexi}\acute{\text{o}}\text{n}$

$f(0)=11$

La función tiene un máximo relativo en $(-2,17)$, un mínimo relativo en $(2,5)$ —el que daba el enunciado del apartado anterior— y un punto de inflexión en $(0,11)$.



Antes de integrar hay que comprobar que la función no cambia de signo en el intervalo. Por el apartado anterior, en $[-2,2]$ la función decrece desde el máximo $17$ hasta el mínimo $5$, de modo que se mantiene siempre por encima del eje.

$A={\int }_{-2}^2({\displaystyle \frac{3}{8}}{x}^3-{\displaystyle \frac{9}{2}}x+11)dx$

$={[{\displaystyle \frac{3}{32}}{x}^4-{\displaystyle \frac{9}{4}}{x}^2+11x]}_{-2}^2$

$=({\displaystyle \frac{3\cdot 16}{32}}-{\displaystyle \frac{9\cdot 4}{4}}+22)-({\displaystyle \frac{3\cdot 16}{32}}-{\displaystyle \frac{9\cdot 4}{4}}-22)$

$=({\displaystyle \frac{3}{2}}-9+22)-({\displaystyle \frac{3}{2}}-9-22)=22+22=44$

Los dos primeros sumandos del integrando son funciones impares, de modo que sus integrales sobre un intervalo simétrico se anulan y todo el área procede del término constante:

${\int }_{-2}^{2}11dx=11\cdot 4=44$

El área de la región limitada es de $44$ unidades de área.