Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2024

A.2 [hasta 2,5 puntos]
Sea $f(x)$ una función polinómica de tercer grado, en la que el coeficiente del término de grado tres vale 1.

a) [1 punto] Encuentra los valores de los otros coeficientes de la función sabiendo que pasa por el punto $(0,0)$ y que tiene un extremo relativo en el punto $(2,-4)$.
b) [0,75 puntos] Determina los máximos y mínimos relativos, y los puntos de inflexión de la función $f(x)=x^3-3x^2$.
c) [0,75 puntos] Calcula el área de la región finita delimitada por el gráfico de la función $f(x)=x^3-3x^2$ y el eje de abscisas.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}\mathbf{\text{Encuentra}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{otros}}\mathbf{\text{coeficientes}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{pasa}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mn\; mathvariant="bold">0</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">0</mn><mo\; stretchy="false">)</mo></mrow>}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{extremo}}\mathbf{\text{relativo}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mn\; mathvariant="bold">2</mn><mo\; separator="true">,</mo><mo\; mathvariant="bold-italic">-</mo><mn\; mathvariant="bold">4</mn><mo\; stretchy="false">)</mo></mrow>}\mathbf{\text{.}}$

Se escribe la función polinómica general de tercer grado con el coeficiente principal ya fijado por el enunciado, y se calcula su derivada.

$f(x)=x^3+b{x}^2+cx+d$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2+2bx+c$

Que la gráfica pase por el origen da directamente el término independiente.

$f(0)=d=0\Rightarrow d=0$

Que tenga un extremo relativo en $(2,-4)$ impone dos condiciones: la curva pasa por ese punto y la derivada se anula en él.

$f(2)=8+4b+2c=-4\Rightarrow 4b+2c=-12\Rightarrow 2b+c=-6$

$f^{\mathrm{\prime }}(2)=12+4b+c=0\Rightarrow 4b+c=-12$

Se restan las dos ecuaciones para eliminar $c$:

$(4b+c)-(2b+c)=-12-(-6)\Rightarrow 2b=-6\Rightarrow b=-3$

$c=-12-4(-3)=-12+12=0$

Los coeficientes son $b=-3$, $c=0$ y $d=0$, de modo que la función es $f(x)=x^3-3x^2$, la misma que se estudia en los apartados siguientes.



Los candidatos a extremo son los que anulan la primera derivada, y el criterio de la segunda decide de qué tipo es cada uno.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=0\\ x=2\end{array}$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=6x-6$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(0)=-6<0\Rightarrow \text{m}\acute{\text{a}}\text{ximo relativo};f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(2)=6>0\Rightarrow \text{m}\acute{\text{ı}}\text{nimo relativo}$

$f(0)=0;f(2)=8-12=-4$



Los candidatos a punto de inflexión son los que anulan la segunda derivada, y se confirman comprobando que la tercera no se anula.

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow 6x-6=0\Rightarrow x=1$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=6\mathrm{\ne }0\Rightarrow x=1\text{es punto de inflexi}\acute{\text{o}}\text{n}$

$f(1)=1-3=-2$

La función tiene un máximo relativo en $(0,0)$, un mínimo relativo en $(2,-4)$ —el que daba el enunciado del apartado anterior— y un punto de inflexión en $(1,-2)$.



Los límites de integración son los cortes de la curva con el eje de abscisas, que se obtienen sacando factor común.

$x^3-3x^2=0\Rightarrow x^2(x-3)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=0\text{ (doble)}\\ x=3\end{array}$

La única región finita que encierran la curva y el eje es la comprendida entre $x=0$ y $x=3$. En ese intervalo la función es negativa, ya que $x^2>0$ y $x-3<0$, así que la integral saldrá negativa y hay que tomar su valor absoluto.

$A=\mid {\int }_0^3(x^3-3x^2)dx\mid$

Por la regla de Barrow:

${\int }_0^3(x^3-3x^2)dx={[{\displaystyle \frac{x^4}{4}}-x^3]}_0^3=({\displaystyle \frac{81}{4}}-27)-0={\displaystyle \frac{81-108}{4}}=-{\displaystyle \frac{27}{4}}$

$A=\mid -{\displaystyle \frac{27}{4}}\mid ={\displaystyle \frac{27}{4}}$

El área de la región finita delimitada por la curva y el eje de abscisas es $\frac{27}{4}=\mathrm{6,75}$ unidades de área.