Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2021

4.Dada la función $f(x)=x^3+3x^2$, se pide:
a) [0,5 puntos] Encontrar la primitiva F de f verificando que $F(2)=10$.
b) [2 puntos] Estudiar y representar gráficamente la función f en todo su dominio. Calcular el área limitada por la curva y el eje X entre $x=-3,2$ y $x=-2$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Encontrar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{primitiva}}\mathbf{\text{F}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{f}}\mathbf{\text{verificando}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{F(2)}}\mathbf{\text{=}}\mathbf{\text{10.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se integra término a término:

$F(x)=\int (x^3+3x^2)dx=\frac{x^4}{4}+x^3+k$

y se impone la condición:

$F(2)=\frac{16}{4}+8+k=4+8+k=10⟹k=-2$

La primitiva pedida es

$F(x)=\frac{x^4}{4}+x^3-2$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Estudiar}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{representar}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficamente}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{f}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{todo}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{dominio.}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{limitada}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{curva}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{eje}}\mathbf{\text{X}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{x}}\mathbf{\text{=}}\mathbf{\text{-3,2}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{x}}\mathbf{\text{=}}\mathbf{\text{-2.}}\mathbf{\text{[2}}\mathbf{\text{puntos]}}$

$\mathbf{\text{Dominio:}}\mathbb{R}$, por tratarse de un polinomio.

$\mathbf{\text{Cortes:}}{x}^3+3x^2=x^2(x+3)=0⟹x=0$ (doble) y $x=-3$.

$\mathbf{\text{Monoton}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a:}}{f}^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2+6x=3x(x+2)$, que se anula en $x=-2$ y $x=0$. La derivada es positiva antes de $-2$, negativa entre $-2$ y 0, y positiva después:

$\text{m}\acute{\text{a}}\text{ximo relativo en }(-2,4)\text{m}\acute{\text{ı}}\text{nimo relativo en }(0,0)$

$\mathbf{\text{Curvatura:}}{f}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=6x+6$, que se anula en $x=-1$: hay un punto de inflexión en $(-1,2)$, cóncava antes y convexa después.

$\mathbf{\text{Ramas}}\mathbf{\text{infinitas:}}{\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}f(x)=-\mathrm{\infty }$ y ${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}f(x)=+\mathrm{\infty }$; no hay asíntotas.



En el intervalo pedido la curva corta al eje en $x=-3$, así que hay que partirlo en dos. Con $G(x)={\displaystyle \frac{x^4}{4}}+x^3$:

${\int }_{-\mathrm{3,2}}^{-3}f(x)dx=G(-3)-G(-\mathrm{3,2})=-\mathrm{6,75}-(-\mathrm{6,5536})=-\mathrm{0,1964}$

${\int }_{-3}^{-2}f(x)dx=G(-2)-G(-3)=-4-(-\mathrm{6,75})=\mathrm{2,75}$

El primer trozo queda por debajo del eje y el segundo por encima, de modo que el área es la suma de los valores absolutos:

$A=\mathrm{0,1964}+\mathrm{2,75}=\mathrm{2,9464}{\text{u}}^2$

Si se hubiese integrado de un tirón entre $-\mathrm{3,2}$ y $-2$ habría salido 2,5536, que no es el área sino la diferencia entre los dos recintos.