Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2020

Cuestión 5. (2 puntos) Representar gráficamente el recinto del plano limitado por la parábola $f(x)=4-x^2$ y la recta $g(x)=2+x$. Calcular su área.

Los límites de integración son las abscisas de los puntos de corte, que se obtienen igualando las dos funciones.

$4-x^2=2+x\Rightarrow x^2+x-2=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{-1\pm 3}{2}}$

$x=-2;x=1$

Para saber cuál queda por encima se evalúan ambas en un punto interior, por ejemplo $x=0$.

$f(0)=4>g(0)=2$

La parábola queda por encima de la recta en todo el intervalo $[-2,1]$.



El área es la integral de la diferencia entre la función superior y la inferior.

$A={\int }_{-2}^1[(4-x^2)-(2+x)]dx={\int }_{-2}^1(2-x-x^2)dx$

Haciendo uso de la regla de Barrow:

$A={[2x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}]}_{-2}^1={\displaystyle \frac{7}{6}}-(-{\displaystyle \frac{10}{3}})$

$A={\displaystyle \frac{7+20}{6}}={\displaystyle \frac{9}{2}}$

El área del recinto limitado por la parábola y la recta es ${\displaystyle \frac{9}{2}}=\mathrm{4,5}$ unidades de área.