Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2021

Cuestión 5. (2,5 puntos) Representar gráficamente el recinto del plano limitado por las parábolas $f(x)=-x^2+4$ y $g(x)=x^2$. Calcular su área.

Los límites de integración son las abscisas de los puntos de corte, que se obtienen igualando las dos parábolas.

$-x^2+4=x^2\Rightarrow 2x^2=4\Rightarrow x=\pm \sqrt{2}$

Para saber cuál queda por encima se evalúan ambas en un punto interior, por ejemplo $x=0$.

$f(0)=4>g(0)=0$

La parábola $f$ queda por encima de $g$ en todo el recinto.



El área es la integral de la diferencia entre la función superior y la inferior. El integrando es par y el intervalo simétrico, así que se integra en la mitad y se duplica.

$A={\int }_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}(4-2x^2)dx=2{\int }_0^{\sqrt{2}}(4-2x^2)dx$

Haciendo uso de la regla de Barrow:

$A=2{[4x-{\displaystyle \frac{2x^3}{3}}]}_0^{\sqrt{2}}=2(4\sqrt{2}-{\displaystyle \frac{4\sqrt{2}}{3}})$

$A=2\cdot {\displaystyle \frac{8\sqrt{2}}{3}}={\displaystyle \frac{16\sqrt{2}}{3}}$

El área del recinto limitado por las dos parábolas es ${\displaystyle \frac{16\sqrt{2}}{3}}\approx \mathrm{7,54}$ unidades de área.