Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2022

Cuestión 7. (2,5 puntos) Dada la función $f(x)={\displaystyle \frac{2x{e}^x}{e^x+2}}$:

a) Calcular ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{2x{e}^x}{e^x+1}}dx}$ (1 punto)

b) Calcular el área de la región delimitada por la gráfica de la función $f(x)$, el eje de abscisa y la recta $x=1$. (1,5 puntos)

En el examen la función es $f(x)={\displaystyle \frac{2x{e}^{x^2}}{e^{x^2}+2}}$, con el exponente $x^2$, que es lo que convierte el numerador en la derivada del denominador.



Se resuelve por cambio de variable, tomando como nueva variable el denominador.

$u=e^{x^2}+1\Rightarrow du=2x{e}^{x^2}dx$

$\int {\displaystyle \frac{2x{e}^{x^2}}{e^{x^2}+1}}dx=\int {\displaystyle \frac{du}{u}}=\ln \mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }+C$

Como $e^{x^2}+1>0$, se puede prescindir del valor absoluto: la primitiva es $\ln (e^{x^2}+1)+C$, como se comprueba derivando.



El denominador es siempre positivo, así que el signo de la función es el de $2x$ y la curva corta al eje de abscisas solo en $x=0$: el recinto queda cerrado por la izquierda en ese corte y $f(x)\ge 0$ en $[0,1]$.



$A={\int }_0^1{\displaystyle \frac{2x{e}^{x^2}}{e^{x^2}+2}}dx$

De nuevo el numerador es la derivada del denominador, así que la primitiva es un logaritmo.

$\int {\displaystyle \frac{2x{e}^{x^2}}{e^{x^2}+2}}dx=\ln (e^{x^2}+2)+C$

Haciendo uso de la regla de Barrow:

$A=[\ln (e^{x^2}+2){]}_0^1=\ln (e+2)-\ln 3=\ln {\displaystyle \frac{e+2}{3}}$

El área de la región es $\ln {\displaystyle \frac{e+2}{3}}\approx \mathrm{0,4528}$ unidades de área.