Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2023

Cuestión 7. (2,5 puntos) Representar gráficamente la región limitada por las gráficas de las funciones $f(x)=9-x^2$ y $g(x)=3+x$ y calcular su área.

Los límites de integración son las abscisas de los puntos de corte, que se obtienen igualando las dos funciones.

$9-x^2=3+x\Rightarrow x^2+x-6=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{-1\pm 5}{2}}$

$x=-3;x=2$

Para saber cuál queda por encima se evalúan ambas en un punto interior, por ejemplo $x=0$.

$f(0)=9>g(0)=3$

La parábola queda por encima de la recta en todo el intervalo $[-3,2]$.



El área es la integral de la diferencia entre la función superior y la inferior.

$A={\int }_{-3}^2[(9-x^2)-(3+x)]dx={\int }_{-3}^2(6-x-x^2)dx$

Haciendo uso de la regla de Barrow:

$A={[6x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}]}_{-3}^2={\displaystyle \frac{22}{3}}-(-{\displaystyle \frac{27}{2}})$

$A={\displaystyle \frac{44+81}{6}}={\displaystyle \frac{125}{6}}$

El área de la región limitada por la parábola y la recta es ${\displaystyle \frac{125}{6}}\approx \mathrm{20,83}$ unidades de área.