Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2025

Apartado 3 - Cuestión B. (2 puntos)

[2 puntos] Realiza:

a) Calcula los valores de los límites de integración $a$ y $b$ de manera que se cumpla ${\int }_{-2}^{1}f(x)dx+{\int }_1^{5}f(x)dx={\int }_a^{b}f(x)dx$. [0,25 puntos]
b) Dada la función $f(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{x\mathrm{/}2}$:
b.1) Escribe la integral que describe el área de la región sombreada. [0,5 puntos]
b.2) Calcula el área. [1,25 puntos]

Se aplica la aditividad respecto del intervalo de integración: los dos intervalos son contiguos, porque el primero acaba donde empieza el segundo.

${\int }_{-2}^{1}f(x)dx+{\int }_1^{5}f(x)dx={\int }_{-2}^{5}f(x)dx$

Comparando con la integral del enunciado, los límites pedidos son $a=-2$ y $b=5$.

$\mathbf{\text{b.1)}}\mathbf{\text{Escribe}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{integral}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{describe}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{sombreada.}}(\mathrm{0,5}\text{ puntos})$

La región sombreada está limitada por la curva, el eje de abscisas y las rectas verticales $x=0$ y $x=4$. Como la exponencial es siempre positiva, la gráfica queda por encima del eje $OX$ y el área coincide con la integral definida.

$A={\int }_0^4{\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{x\mathrm{/}2}dx$



$\mathbf{\text{b.2)}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea.}}(\mathrm{1,25}\text{ puntos})$

Se busca una primitiva teniendo en cuenta que $\int e^{kx}dx={\displaystyle \frac{1}{k}}{e}^{kx}+C$, con $k={\displaystyle \frac{1}{2}}$.

$\int {\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{x\mathrm{/}2}dx={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 2e^{x\mathrm{/}2}+C=e^{x\mathrm{/}2}+C$

Haciendo uso de la regla de Barrow:

$A=[e^{x\mathrm{/}2}{]}_0^4=e^2-e^0=e^2-1$

El área de la región sombreada es $e^2-1\approx \mathrm{6,39}$ unidades de área.