Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2026

Pregunta 2.1 (2,5 puntos). Responda únicamente a una de las dos opciones, o bien 2.1 o bien 2.2.

Considere la función real de variable real
$f(x)=x(1-x^2)+e^{-\lambda x},$
donde $\lambda$ es un parámetro real sin especificar.

a) (1 punto) Calcule $F(x)$, la primitiva de $f(x)$, tal que $F(0)=1$.

b) (1 punto) Obtenga el área entre la curva de $f(x)$ y el eje horizontal en el intervalo $[0,1]$.

c) (0,5 puntos) ¿Para qué valores de $\lambda$ es $f^{\mathrm{\prime }}(0)$ positiva?

Desarrollamos primero el producto para integrar término a término, y trabajamos en el caso general $\lambda \mathrm{\ne }0$.

$f(x)=x(1-x^2)+e^{-\lambda x}=x-x^3+e^{-\lambda x}$

$\int f(x)dx={\displaystyle \frac{x^2}{2}}-{\displaystyle \frac{x^4}{4}}-{\displaystyle \frac{1}{\lambda }}{e}^{-\lambda x}+C$

Imponemos la condición que fija la constante de integración.

$F(0)=0-0-{\displaystyle \frac{1}{\lambda }}+C=1\Rightarrow C=1+{\displaystyle \frac{1}{\lambda }}$

$F(x)={\displaystyle \frac{x^2}{2}}-{\displaystyle \frac{x^4}{4}}-{\displaystyle \frac{1}{\lambda }}{e}^{-\lambda x}+1+{\displaystyle \frac{1}{\lambda }}$

Si fuese $\lambda =0$, la exponencial valdría 1 y la primitiva sería $F(x)={\displaystyle \frac{x^2}{2}}-{\displaystyle \frac{x^4}{4}}+x+1$.



Antes de integrar hay que conocer el signo de la función en el intervalo, porque el área es la integral del valor absoluto.

$x-x^3=x(1-x)(1+x)\ge 0\text{para }x\in [0,1]$

La exponencial es positiva siempre, así que $f(x)>0$ en $(0,1]$ sea cual sea $\lambda$ y el área coincide con la integral definida.

$A={\int }_0^1(x-x^3)dx+{\int }_0^1{e}^{-\lambda x}dx$

${\int }_0^1(x-x^3)dx={[{\displaystyle \frac{x^2}{2}}-{\displaystyle \frac{x^4}{4}}]}_0^1={\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$

${\int }_0^1{e}^{-\lambda x}dx={[-{\displaystyle \frac{1}{\lambda }}{e}^{-\lambda x}]}_0^1={\displaystyle \frac{1-e^{-\lambda }}{\lambda }}$

$A={\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1-e^{-\lambda }}{\lambda }}$ unidades de área.

Para $\lambda =0$ el segundo sumando vale 1 y el área es ${\displaystyle \frac{5}{4}}$ unidades de área.





Derivamos y evaluamos en el origen, recordando que la derivada de $e^{-\lambda x}$ es $-\lambda e^{-\lambda x}$.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=1-3x^2-\lambda e^{-\lambda x}$

$f^{\mathrm{\prime }}(0)=1-0-\lambda =1-\lambda$

$f^{\mathrm{\prime }}(0)>0\Rightarrow 1-\lambda >0\Rightarrow \lambda <1$

La derivada en el origen es positiva para todo $\lambda \in (-\mathrm{\infty },1)$.