Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2025

PROBLEMA 3
En caso de elegir este problema hay que responder a uno de estos dos apartados: APARTADO 3.1 o APARTADO 3.2
APARTADO 3.2 [2,5 puntos]
Sea $f(x)$ la siguiente función:
$f(x)=\{\begin{array}{lll}x+2& \text{si}& -2\le x<0\\ -x+2& \text{si}& 0\le x<2\\ x^2-4x+4& \text{si}& 2\le x\le 4\end{array}$

a) [1 punto] Analiza la continuidad de la función en el intervalo $(-2,4)$.
b) [0,5 puntos] Realiza la representación gráfica de la función.
c) [1 punto] Calcula el área comprendida entre la función y el eje de abscisas $OX$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}\mathbf{\text{Analiza}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{continuidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; mathvariant="bold-italic">-</mo><mn\; mathvariant="bold">2</mn><mo\; separator="true">,</mo><mtext> </mtext><mn\; mathvariant="bold">4</mn><mo\; stretchy="false">)</mo></mrow>}\mathbf{\text{.}}$

En cada trozo abierto la función es un polinomio, y los polinomios son continuos en todo su dominio. Los únicos puntos dudosos son los dos empalmes, $x=0$ y $x=2$, donde hay que comprobar las tres condiciones de la continuidad: que exista la imagen, que existan y coincidan los límites laterales, y que ese límite valga la imagen.

i) Empalme en $x=0$:

$f(0)=-0+2=2$

${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 0^{-}}(x+2)=0+2=2$

${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 0^{+}}(-x+2)=-0+2=2$

${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=f(0)=2\Rightarrow \text{ continua en }x=0$

ii) Empalme en $x=2$:

$f(2)=2^2-4\cdot 2+4=0$

${\lim }_{x\to 2^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 2^{-}}(-x+2)=-2+2=0$

${\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 2^{+}}(x^2-4x+4)=4-8+4=0$

${\lim }_{x\to 2^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)=f(2)=0\Rightarrow \text{ continua en }x=2$

La función es continua en todo el intervalo $(-2,4)$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Realiza}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{representaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{fica}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}$

Los dos primeros trozos son segmentos de recta, que quedan determinados por dos puntos cada uno, y el tercero es un arco de la parábola $y=(x-2{)}^2$, que tiene el vértice justo en $x=2$.

$\{\begin{array}{l}y=x+2:(-2,0)\text{ y }(0,2)\\ y=-x+2:(0,2)\text{ y }(2,0)\\ y=(x-2{)}^2:\text{v}\acute{\text{e}}\text{rtice }(2,0)\text{ y }(4,4)\end{array}$





En la gráfica se ve que la función no cambia de signo en el intervalo: se mantiene por encima del eje de abscisas y solo lo toca en los extremos $x=-2$ y $x=2$. No hacen falta, por tanto, valores absolutos, y el área es la suma de las tres integrales definidas, una por trozo.

$A={\int }_{-2}^0(x+2)dx+{\int }_0^2(-x+2)dx+{\int }_2^4(x^2-4x+4)dx$

Aplicando la regla de Barrow a cada una:

${\int }_{-2}^0(x+2)dx={[{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+2x]}_{-2}^0=0-({\displaystyle \frac{4}{2}}-4)=0-(-2)=2$

${\int }_0^2(-x+2)dx={[-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+2x]}_0^2=(-2+4)-0=2$

${\int }_2^4(x^2-4x+4)dx={\left[{\displaystyle \frac{(x-2{)}^3}{3}}\right]}_2^4={\displaystyle \frac{8}{3}}-0={\displaystyle \frac{8}{3}}$

Se suman las tres aportaciones:

$A=2+2+{\displaystyle \frac{8}{3}}={\displaystyle \frac{6+6+8}{3}}={\displaystyle \frac{20}{3}}$

El área comprendida entre la función y el eje de abscisas es $\frac{20}{3}\approx \mathrm{6,67}$ unidades de área.