Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2025

Ejercicio 2 (2,5 puntos). Responda únicamente a una de las dos preguntas, o bien 2.1 o 2.2.

Pregunta 2.2. Se considera la función real de variable real dada por la siguiente expresión: $f(x)=e^x(-x^2+3)$.

2.2.a) (1,25 puntos) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función y clasifique, si procede, sus extremos relativos.

2.2.b) (1,25 puntos) Halle el valor de la integral definida

${\displaystyle {\int }_1^2{\displaystyle \frac{f(x)}{x{e}^x}}dx}$

$\mathbf{\text{2.2.a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{intervalos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{decrecimiento}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{clasifique,}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{procede,}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{extremos}}\mathbf{\text{relativos.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

La función es producto de una exponencial y un polinomio, así que es continua y derivable en todo $\mathbb{R}$. Derivamos aplicando la regla del producto y sacamos factor común.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=e^x(-x^2+3)+e^x(-2x)=e^x(-x^2-2x+3)$

Como $e^x>0$ siempre, el signo de la derivada es el del paréntesis.

$-x^2-2x+3=0\Rightarrow x^2+2x-3=0\Rightarrow (x+3)(x-1)=0$

$x=-3,x=1$

Se hace un estudio de signos: la parábola $x^2+2x-3$ es negativa entre sus raíces, y en la derivada aparece con el signo cambiado.

$\begin{array}{cccc}& (-\mathrm{\infty },-3)& (-3,1)& (1,+\mathrm{\infty })\\ f^{\mathrm{\prime }}(x)& -& +& -\end{array}$

La función decrece en $(-\mathrm{\infty },-3)$ y en $(1,+\mathrm{\infty })$, y crece en $(-3,1)$.



En $x=-3$ la función pasa de decrecer a crecer y en $x=1$ de crecer a decrecer, así que evaluamos para dar los extremos.

$f(-3)=e^{-3}(-9+3)=-6e^{-3}\approx -\mathrm{0,30}$

$f(1)=e(-1+3)=2e\approx \mathrm{5,44}$

Hay un mínimo relativo en $(-3,-6e^{-3})$ y un máximo relativo en $(1,2e)$.



Conviene simplificar el integrando antes de buscar la primitiva, porque la exponencial se cancela.

${\displaystyle \frac{f(x)}{x{e}^x}}={\displaystyle \frac{e^x(-x^2+3)}{x{e}^x}}={\displaystyle \frac{-x^2+3}{x}}=-x+{\displaystyle \frac{3}{x}}$

El cociente está bien definido en $[1,2]$, pues ahí $x\mathrm{\ne }0$. Integramos término a término.

$\int (-x+{\displaystyle \frac{3}{x}})dx=-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+3\ln \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+C$

Haciendo uso de la regla de Barrow:

${\int }_1^2{\displaystyle \frac{f(x)}{x{e}^x}}dx={[-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+3\ln \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }]}_1^2=(-2+3\ln 2)-(-{\displaystyle \frac{1}{2}}+0)$

$=-{\displaystyle \frac{3}{2}}+3\ln 2\approx \mathrm{0,5794}$

El valor de la integral definida es $-{\displaystyle \frac{3}{2}}+3\ln 2\approx \mathrm{0,5794}$.