Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2022

Dada la función $f(x)=-{\displaystyle \frac{1}{x-1}}+{\displaystyle \frac{1}{x+3}}$,

a) Encuentre el dominio y los intervalos de crecimiento y decrecimiento. [5 puntos]

b) Calcule una primitiva de $f(x)$. [3 puntos]

c) Calcule el área limitada por la gráfica de $f(x)$ y las rectas $x=4$, $x=7$ e $y=0$. [2 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Encuentre}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{dominio}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{intervalos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{decrecimiento.}}\mathbf{\text{[5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La función es la suma de dos fracciones algebraicas, y no está definida donde se anula alguno de los denominadores.

$x-1=0\Rightarrow x=1;x+3=0\Rightarrow x=-3$

$\text{Dom }f(x)=\mathbb{R}-\{-3,1\}$

Antes de derivar conviene reunir las dos fracciones en una sola, porque simplifica mucho el cálculo.

$f(x)={\displaystyle \frac{-1}{x-1}}+{\displaystyle \frac{1}{x+3}}={\displaystyle \frac{-(x+3)+(x-1)}{(x-1)(x+3)}}$

$f(x)={\displaystyle \frac{-x-3+x-1}{(x-1)(x+3)}}={\displaystyle \frac{-4}{(x-1)(x+3)}}={\displaystyle \frac{-4}{x^2+2x-3}}$

Derivamos la fracción, cuyo numerador es constante.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{0\cdot (x^2+2x-3)-(-4)(2x+2)}{{(x^2+2x-3)}^2}}={\displaystyle \frac{4(2x+2)}{{(x^2+2x-3)}^2}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{8(x+1)}{{(x^2+2x-3)}^2}}$

El denominador es un cuadrado, luego es positivo siempre que esté definido: el signo de la derivada lo marca únicamente el factor $x+1$.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow x+1=0\Rightarrow x=-1$

Hacemos un estudio de signos teniendo en cuenta que $x=-3$ y $x=1$ no pertenecen al dominio.

$\text{Si }x=-4,8(-4+1)=-24<0$

$\text{Si }x=-2,8(-2+1)=-8<0$

$\text{Si }x=0,8(0+1)=8>0$

$\text{Si }x=2,8(2+1)=24>0$



El dominio es $\mathbb{R}-\{-3,1\}$. La función decrece en $(-\mathrm{\infty },-3)\cup (-3,-1)$ y crece en $(-1,1)\cup (1,+\mathrm{\infty })$. En $x=-1$ pasa de decrecer a crecer, luego hay un mínimo relativo, cuyo valor es $f(-1)=-4\mathrm{/}(-2\cdot 2)=1$.



Aquí conviene volver a la expresión de partida, que ya está descompuesta en fracciones simples: cada sumando se integra como un logaritmo.

$\int {\displaystyle \frac{1}{x-a}}dx=\ln \mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }+C$

$\int f(x)dx=\int ({\displaystyle \frac{-1}{x-1}}+{\displaystyle \frac{1}{x+3}})dx=-\ln \mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }+\ln \mathrm{\mid }x+3\mathrm{\mid }+C$

Agrupando los dos logaritmos con la propiedad del cociente:

$F(x)=\ln \mid {\displaystyle \frac{x+3}{x-1}}\mid$

Una primitiva de $f(x)$ es $F(x)=\ln \mid {\displaystyle \frac{x+3}{x-1}}\mid$, tomando la constante igual a cero.



Primero comprobamos el signo de la función en el intervalo $[4,7]$, que está entero dentro del dominio.

$f(4)={\displaystyle \frac{-4}{3\cdot 7}}=-{\displaystyle \frac{4}{21}}<0,f(7)={\displaystyle \frac{-4}{6\cdot 10}}=-{\displaystyle \frac{1}{15}}<0$

Para $x>1$ los dos factores del denominador son positivos y el numerador es $-4$, de modo que la función es negativa en todo el intervalo: el recinto queda por debajo del eje de abscisas y la integral saldrá negativa. El área es su valor absoluto.

${\int }_4^{7}f(x)dx={[\ln \mid {\displaystyle \frac{x+3}{x-1}}\mid ]}_4^7=\ln {\displaystyle \frac{10}{6}}-\ln {\displaystyle \frac{7}{3}}$

$=\ln {\displaystyle \frac{5}{3}}-\ln {\displaystyle \frac{7}{3}}=\ln ({\displaystyle \frac{5}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{7}})=\ln {\displaystyle \frac{5}{7}}$

$\ln {\displaystyle \frac{5}{7}}\approx -\mathrm{0,3365}$

$\acute{\text{A}}\text{rea}=\mid \ln {\displaystyle \frac{5}{7}}\mid =\ln {\displaystyle \frac{7}{5}}\approx \mathrm{0,3365}\text{unidades de }\acute{\text{a}}\text{rea}$

El área pedida es de $\ln (7\mathrm{/}5)\approx \mathrm{0,3365}$ unidades de área.