Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2025

PROBLEMA 3
En caso de elegir este problema hay que responder a uno de estos dos apartados: APARTADO 3.1 o APARTADO 3.2
APARTADO 3.2 [2,5 puntos]
Sea la función $f(x):(0,\mathrm{\infty })\to \mathbb{R}$ definida como:

$f(x)={\displaystyle \frac{a{x}^2+b}{x}}$

Sabemos que la recta $y=-2$ es la recta tangente a la función $f(x)$ en el punto $x=1$.

a) [1,25 puntos] Calcula el valor de los parámetros $a$ y $b$.
b) [0,75 puntos] Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f(x)$, cuando $a=b=-1$.
c) [0,5 puntos] Para los valores $a=b=-1$, ¿tiene la función, $f(x)$, algún máximo o mínimo relativo? En caso afirmativo, determínalo.

Conviene escribir la función separando los dos sumandos, porque así se deriva sin usar la regla del cociente.

$f(x)={\displaystyle \frac{a{x}^2+b}{x}}=ax+{\displaystyle \frac{b}{x}},x>0$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=a-{\displaystyle \frac{b}{x^2}}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metros}}\mathit{a}\mathbf{\text{y}}\mathit{b}\mathbf{\text{.}}$

Que la recta $y=-2$ sea tangente a la curva en $x=1$ impone dos condiciones: la curva pasa por el punto de tangencia y su pendiente allí coincide con la de la recta, que es horizontal.

$\{\begin{array}{l}f(1)=-2\\ f^{\mathrm{\prime }}(1)=0\end{array}$

$f(1)=a\cdot 1+{\displaystyle \frac{b}{1}}=a+b=-2$

$f^{\mathrm{\prime }}(1)=a-{\displaystyle \frac{b}{1^2}}=a-b=0\Rightarrow a=b$

Se sustituye la segunda condición en la primera:

$a+a=-2\Rightarrow 2a=-2\Rightarrow a=-1\Rightarrow b=-1$

Los parámetros valen $a=-1$ y $b=-1$.



Con esos valores la función y su derivada quedan así:

$f(x)=-x-{\displaystyle \frac{1}{x}};f^{\mathrm{\prime }}(x)=-1+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}={\displaystyle \frac{1-x^2}{x^2}}$

Como el dominio es $(0,+\mathrm{\infty })$, el denominador es siempre positivo y el signo de la derivada lo decide únicamente el numerador.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow 1-x^2=0\Rightarrow x=\pm 1$

Se descarta $x=-1$ por no pertenecer al dominio de la función. Se hace un estudio de signos en los dos tramos que deja $x=1$.

$\{\begin{array}{l}{f}^{\mathrm{\prime }}\left(\frac{1}{2}\right)=-1+4=3>0\\ f^{\mathrm{\prime }}(2)=-1+\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}<0\end{array}$

$\begin{array}{ccc}& (0,1)& (1,+\mathrm{\infty })\\ f^{\mathrm{\prime }}(x)& +& -\\ f(x)& \nearrow & \searrow \end{array}$

La función crece en el intervalo $(0,1)$ y decrece en el intervalo $(1,+\mathrm{\infty })$.





El único punto crítico del dominio es $x=1$, y el estudio de signos del apartado anterior muestra que en él la derivada pasa de positiva a negativa.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)>0\text{ si }0<x<1;f^{\mathrm{\prime }}(x)<0\text{ si }x>1\Rightarrow \text{m}\acute{\text{a}}\text{ximo relativo en }x=1$

$f(1)=-1-{\displaystyle \frac{1}{1}}=-2$

El resultado es coherente con el enunciado: la recta tangente en ese punto era horizontal, $y=-2$, que es justamente la altura del máximo.

La función tiene un máximo relativo en el punto $(1,-2)$, y no tiene ningún mínimo relativo.