Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2020

Dadas las funciones $f(x)=-x^2+5$ y $g(x)=x^2-a$, donde $a\in \mathbb{R}$.

a) Encuentre todos los posibles valores de $a$ para que $f(x)$ y $g(x)$ se corten. [3 puntos]

b) Para $a=3$, dibuje el recinto cerrado entre las gráficas de $f(x)$ y $g(x)$, identificando los puntos de intersección. [3 puntos]

c) Para $a=3$, calcule el área de este recinto interior. [4 puntos]

Dos gráficas se cortan en los puntos donde las funciones toman el mismo valor, así que se igualan las dos expresiones.

$f(x)=g(x)\Rightarrow -x^2+5=x^2-a$

$5+a=2x^2\Rightarrow x^2={\displaystyle \frac{5+a}{2}}$

Un cuadrado nunca es negativo, de modo que la ecuación solo tiene solución real cuando el segundo miembro es mayor o igual que cero.

${\displaystyle \frac{5+a}{2}}\ge 0\Rightarrow 5+a\ge 0\Rightarrow a\ge -5$

Las dos gráficas se cortan si y solo si $a\ge -5$. Para $a>-5$ se cortan en dos puntos simétricos respecto del eje de ordenadas, $x=\pm \sqrt{(5+a)\mathrm{/}2}$, y para $a=-5$ se tocan en un único punto, $x=0$.



Con $a=3$ las dos funciones son

$f(x)=-x^2+5,g(x)=x^2-3$

Los puntos de corte salen de la fórmula del apartado anterior.

$x^2={\displaystyle \frac{5+3}{2}}=4\Rightarrow x=\pm 2$

$f(2)=-4+5=1,g(2)=4-3=1$

Los puntos de intersección son $(-2,1)$ y $(2,1)$.

Para dibujar basta reconocer las dos parábolas. La de $f$ tiene las ramas hacia abajo y el vértice en $(0,5)$; la de $g$ las tiene hacia arriba y el vértice en $(0,-3)$. El recinto cerrado entre ellas es la zona sombreada, con $f$ por encima y $g$ por debajo.

$f(0)=5>-3=g(0)$





El área entre dos curvas es la integral de la diferencia entre la de arriba y la de abajo, entre los dos puntos de corte.

$\acute{\text{A}}\text{rea}={\int }_{-2}^2(f(x)-g(x))dx={\int }_{-2}^2[(-x^2+5)-(x^2-3)]dx$

$={\int }_{-2}^2(-2x^2+8)dx$

$={[-{\displaystyle \frac{2x^3}{3}}+8x]}_{-2}^2$

$=(-{\displaystyle \frac{16}{3}}+16)-({\displaystyle \frac{16}{3}}-16)=32-{\displaystyle \frac{32}{3}}={\displaystyle \frac{96-32}{3}}={\displaystyle \frac{64}{3}}$

$\acute{\text{A}}\text{rea}={\displaystyle \frac{64}{3}}\approx \mathrm{21,33}\text{unidades de }\acute{\text{a}}\text{rea}$

El área del recinto es de $64\mathrm{/}3\approx \mathrm{21,33}$ unidades de área.