Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2023

Una empresa de juguetes fabrica molinillos de plástico como el que se muestra en la figura 1. Las cuatro aspas del molinillo son iguales. La figura 2 muestra una de estas aspas: por encima está limitada por la parábola $y=-\mathrm{0,24}{x}^2+2x+20$, por la izquierda por el eje de ordenadas, por la derecha por la recta $y=4x-24$ y, por debajo, por el eje de abscisas. Las unidades de los ejes se miden en cm.





a) Calcular la superficie total del molinillo (incluyendo el cuadrado central).

b) Cada molinillo se fabrica en plástico, con un coste de fabricación de 1,4 céntimos de euro por cm² de superficie, al que se añaden 20 céntimos por el palito que le sirve de soporte. Asimismo, el coste de distribución (transportar los molinillos desde la fábrica a los puntos de venta) es de 24 céntimos por molinillo. ¿A qué precio se debe vender cada molinillo si se desea que el beneficio total obtenido con la venta (precio de venta menos costes de fabricación y distribución) sea un 20 % del precio de venta?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{total}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{molinillo}}\mathbf{\text{(incluyendo}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{cuadrado}}\mathbf{\text{central).}}$

Empezamos por localizar los vértices del aspa. La parábola corta al eje de ordenadas en

$x=0\Rightarrow y=-\mathrm{0,24}\cdot 0+2\cdot 0+20=20$

La recta corta al eje de abscisas en

$4x-24=0\Rightarrow x=6$

y la parábola y la recta se cortan donde

$-\mathrm{0,24}{x}^2+2x+20=4x-24\Rightarrow -\mathrm{0,24}{x}^2-2x+44=0$

$3x^2+25x-550=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{-25\pm \sqrt{625+6600}}{6}}={\displaystyle \frac{-25\pm 85}{6}}$

$\{\begin{array}{l}x=10\Rightarrow y=4\cdot 10-24=16\\ x=-{\displaystyle \frac{55}{3}}\end{array}$

Se descarta la solución negativa porque el aspa está en el primer cuadrante. Los vértices son, pues, $(0,20)$, $(6,0)$ y $(10,16)$.



El aspa se descompone en dos trozos: de $x=0$ a $x=6$ está limitada por debajo por el eje de abscisas, y de $x=6$ a $x=10$ por la recta.

$A_1={\int }_0^6(-\mathrm{0,24}{x}^2+2x+20)dx={[-\mathrm{0,08}{x}^3+x^2+20x]}_0^6$

$A_1=-\mathrm{0,08}\cdot 216+36+120=-\mathrm{17,28}+156=\mathrm{138,72}$

$A_2={\int }_6^{10}[(-\mathrm{0,24}{x}^2+2x+20)-(4x-24)]dx={\int }_6^{10}(-\mathrm{0,24}{x}^2-2x+44)dx$

$A_2={[-\mathrm{0,08}{x}^3-x^2+44x]}_6^{10}=(-80-100+440)-(-\mathrm{17,28}-36+264)$

$A_2=260-\mathrm{210,72}=\mathrm{49,28}$

$A_{\text{aspa}}=\mathrm{138,72}+\mathrm{49,28}=188{\text{cm}}^2$

El lado del cuadrado central es el segmento del eje de ordenadas sobre el que se apoya cada aspa, es decir, $20$ cm.

$A_{\text{cuadrado}}={20}^2=400{\text{cm}}^2$

$A_{\text{total}}=4\cdot 188+400=752+400=1152{\text{cm}}^2$

La superficie total del molinillo es de $1152{\text{cm}}^2$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Cada}}\mathbf{\text{molinillo}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{fabrica}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{pl}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{stico,}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{coste}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{fabricaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{1,4}}\mathbf{\text{c}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ntimos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{euro}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{cm²}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{superficie,}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{aden}}\mathbf{\text{20}}\mathbf{\text{c}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ntimos}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{palito}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{le}}\mathbf{\text{sirve}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{soporte.}}\mathbf{\text{Asimismo,}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{coste}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{distribuci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{(transportar}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{molinillos}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{f}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{brica}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{venta)}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{24}}\mathbf{\text{c}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ntimos}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{molinillo.}}\mathbf{\text{¿A}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{vender}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{molinillo}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{desea}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{total}}\mathbf{\text{obtenido}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{venta}}\mathbf{\text{(precio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{venta}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{costes}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{fabricaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{distribuci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n)}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{20}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{venta?}}$

Sumamos todos los costes, en céntimos de euro.

$C=\mathrm{1,4}\cdot 1152+20+24=\mathrm{1612,8}+44=\mathrm{1656,8}\text{c}\acute{\text{e}}\text{ntimos}$

Llamamos $P$ al precio de venta, en céntimos. La condición del enunciado es que el beneficio sea el 20 % de ese precio.

$P-C=\mathrm{0,2}P\Rightarrow \mathrm{0,8}P=\mathrm{1656,8}\Rightarrow P={\displaystyle \frac{\mathrm{1656,8}}{\mathrm{0,8}}}=2071\text{c}\acute{\text{e}}\text{ntimos}$

Cada molinillo se debe vender a $\mathrm{20,71}$ euros.