Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2022

En una pared se quiere pintar un mural abstracto. En ese mural hay que pintar la figura encerrada dentro de la parábola $y=x^2-1$, y limitada por encima por la recta $y=11-x$ y por debajo por el eje OX. Las distancias en los ejes están definidas en metros.

a) ¿Cuántos metros cuadrados mide la figura?

b) El trozo de figura a la izquierda de la recta $x=-1$ se pinta de azul, y el trozo a la derecha de gris. Si cada metro cuadrado de pintura azul cuesta 2 €, y pintar el mural ha costado en total 95 €, ¿cuánto cuesta cada ${\text{m}}^2$ de pintura gris?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{metros}}\mathbf{\text{cuadrados}}\mathbf{\text{mide}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{figura?}}$

La figura queda por encima de la parábola $y=x^2-1$, por debajo de la recta $y=11-x$ y por encima del eje $OX$. Localizamos los cortes que la delimitan.

Parábola y recta:

$x^2-1=11-x\Rightarrow x^2+x-12=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{-1\pm \sqrt{1+48}}{2}}={\displaystyle \frac{-1\pm 7}{2}}$

$\{\begin{array}{l}x=-4\Rightarrow y=15\\ x=3\Rightarrow y=8\end{array}$

Parábola y eje de abscisas:

$x^2-1=0\Rightarrow x=\pm 1$



Entre $x=-1$ y $x=1$ la parábola queda por debajo del eje $OX$, de modo que ahí el borde inferior de la figura es el propio eje. Hay que partir la integral en tres trozos.

$A_1={\int }_{-4}^{-1}[(11-x)-(x^2-1)]dx={\int }_{-4}^{-1}(12-x-x^2)dx$

$A_1={[12x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}]}_{-4}^{-1}=(-12-{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}})-(-48-8+{\displaystyle \frac{64}{3}})={\displaystyle \frac{45}{2}}=\mathrm{22,5}$

$A_2={\int }_{-1}^1(11-x)dx={[11x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}]}_{-1}^1=(11-{\displaystyle \frac{1}{2}})-(-11-{\displaystyle \frac{1}{2}})=22$

$A_3={\int }_1^3(12-x-x^2)dx={[12x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}]}_1^3$

$A_3=(36-{\displaystyle \frac{9}{2}}-9)-(12-{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{3}})={\displaystyle \frac{45}{2}}-{\displaystyle \frac{67}{6}}={\displaystyle \frac{34}{3}}$

$A={\displaystyle \frac{45}{2}}+22+{\displaystyle \frac{34}{3}}={\displaystyle \frac{135+132+68}{6}}={\displaystyle \frac{335}{6}}\approx \mathrm{55,83}$

La figura mide ${\displaystyle \frac{335}{6}}\approx \mathrm{55,83}{\text{m}}^2$.



La zona azul es la que va de $x=-4$ a $x=-1$, cuya área ya se ha calculado.

$A_{\text{azul}}=A_1=\mathrm{22,5}{\text{m}}^2$

$A_{\text{gris}}=A-A_{\text{azul}}={\displaystyle \frac{335}{6}}-{\displaystyle \frac{45}{2}}={\displaystyle \frac{335-135}{6}}={\displaystyle \frac{200}{6}}={\displaystyle \frac{100}{3}}\approx \mathrm{33,33}{\text{m}}^2$

Valoramos la parte azul y despejamos el precio de la gris.

$C_{\text{azul}}=\mathrm{22,5}\cdot 2=45\text{ €}$

$C_{\text{gris}}=95-45=50\text{ €}$

$p={\displaystyle \frac{50}{{\displaystyle \frac{100}{3}}}}={\displaystyle \frac{50\cdot 3}{100}}=\mathrm{1,5}$

Cada metro cuadrado de pintura gris cuesta $\mathrm{1,5}$ euros.