Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2020

Para hacer los decorados de una película se necesita construir y pintar una pared de cartón piedra como la de la figura adjunta. La curva superior de la pared puede representarse mediante la función:

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2-3x+10& x\in [0,4]\\ -x^2+13x-22& x\in (4,8]\end{array}$



Las unidades se miden en metros.

a) Calcular cuánto mide la superficie de la pared.

b) Si el cartón piedra cuesta 4 €/m², la pintura 0,5 €/m² y el coste la mano de obra es igual al 70 % del coste de los materiales (cartón y pintura), ¿cuánto costará la elaboración de esta pared?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{mide}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{pared.}}$

La superficie de la pared es la región comprendida entre la curva $f(x)$ y el eje de abscisas, de $x=0$ a $x=8$. Como la función viene dada por dos trozos, la integral se parte en $x=4$.

Comprobamos primero que la curva es continua en el empalme, de modo que la pared no tiene ningún escalón.

${\lim }_{x\to 4^{-}}f(x)=16-12+10=14{\lim }_{x\to 4^{+}}f(x)=-16+52-22=14$

Además las dos ramas son positivas en todo el intervalo, así que el área es directamente la suma de las integrales.

$A_1={\int }_0^4(x^2-3x+10)dx={[{\displaystyle \frac{x^3}{3}}-{\displaystyle \frac{3x^2}{2}}+10x]}_0^4$

$A_1={\displaystyle \frac{64}{3}}-24+40={\displaystyle \frac{64}{3}}+16={\displaystyle \frac{112}{3}}$

$A_2={\int }_4^8(-x^2+13x-22)dx={[-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}+{\displaystyle \frac{13x^2}{2}}-22x]}_4^8$

$A_2=(-{\displaystyle \frac{512}{3}}+416-176)-(-{\displaystyle \frac{64}{3}}+104-88)={\displaystyle \frac{208}{3}}-(-{\displaystyle \frac{16}{3}})={\displaystyle \frac{224}{3}}$

$A={\displaystyle \frac{112}{3}}+{\displaystyle \frac{224}{3}}={\displaystyle \frac{336}{3}}=112$

La superficie de la pared mide $112{\text{m}}^2$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{cart}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{piedra}}\mathbf{\text{cuesta}}\mathbf{\text{4}}\mathbf{\text{€/m²,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{pintura}}\mathbf{\text{0,5}}\mathbf{\text{€/m²}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{coste}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{mano}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{obra}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{igual}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{70}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{coste}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{materiales}}\mathbf{\text{(cart}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{pintura),}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{costar}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{elaboraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{esta}}\mathbf{\text{pared?}}$

Sumamos los dos materiales, que se pagan por metro cuadrado de pared.

$C_{\text{materiales}}=(4+\mathrm{0,5})\cdot 112=\mathrm{4,5}\cdot 112=504\text{ €}$

$C_{\text{mano de obra}}=\mathrm{0,70}\cdot 504=\mathrm{352,8}\text{ €}$

$C=504+\mathrm{352,8}=\mathrm{856,8}\text{ €}$

La elaboración de la pared costará $\mathrm{856,8}$ euros.