Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2022

a) Determine, razonando la respuesta, el área encerrada por la función $f(x)=-x^2+x$ y el eje OX entre $x=0$ y $x=2$. [1 punto]

b) Determine, razonando la respuesta, las asíntotas de la función

$g(x)={\displaystyle \frac{3-2x^2}{-x^2+x}}$

[1 punto]

Como el recinto está limitado por el eje $OX$, lo primero es localizar los puntos donde la curva lo corta, porque en ellos cambia el signo de la función y, con él, el de la integral.

$f(x)=0\Rightarrow -x^2+x=0\Rightarrow x(1-x)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=0\\ x=1\end{array}$

El corte $x=1$ está en el interior del intervalo $[0,2]$, que queda dividido en dos tramos. Se estudia el signo de la función en cada uno.

$f\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)=-{\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{1}{4}}>0f\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)=-{\displaystyle \frac{9}{4}}+{\displaystyle \frac{3}{2}}=-{\displaystyle \frac{3}{4}}<0$



El área es la suma de los valores absolutos de las integrales en los dos tramos. Calculamos primero una primitiva.

$\int (-x^2+x)dx=-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}$

Aplicando la regla de Barrow en cada tramo:

${\int }_0^1(-x^2+x)dx={[-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}]}_0^1=-{\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{1}{6}}$

${\int }_1^2(-x^2+x)dx={[-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}]}_1^2=(-{\displaystyle \frac{8}{3}}+2)-{\displaystyle \frac{1}{6}}=-{\displaystyle \frac{2}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{6}}=-{\displaystyle \frac{5}{6}}$

$S={\displaystyle \frac{1}{6}}+{\displaystyle \frac{5}{6}}=1$

El área encerrada por la función y el eje $OX$ entre $x=0$ y $x=2$ es de 1 unidad de superficie.



El denominador es justamente la función del apartado anterior, que se anula en $x=0$ y en $x=1$, de modo que el dominio es $\mathbb{R}-\{0,1\}$ y esos son los candidatos a asíntota vertical.

${\lim }_{x\to 0}g(x)={\displaystyle \frac{3-0}{0}}={\displaystyle \frac{3}{0}}=\mathrm{\infty }$

${\lim }_{x\to 1}g(x)={\displaystyle \frac{3-2}{0}}={\displaystyle \frac{1}{0}}=\mathrm{\infty }$

En los dos casos el numerador no se anula, así que las rectas $x=0$ y $x=1$ son asíntotas verticales.

Para la asíntota horizontal se compara el grado del numerador con el del denominador: los dos valen 2, luego el límite en el infinito es el cociente de los coeficientes principales.

${\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}g(x)={\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{3-2x^2}{-x^2+x}}={\displaystyle \frac{-2}{-1}}=2$

La recta $y=2$ es asíntota horizontal por las dos ramas y, al haberla, la función no tiene asíntotas oblicuas.

La función tiene dos asíntotas verticales, $x=0$ y $x=1$, y una asíntota horizontal, $y=2$.