Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2020

Se pide, justificando las respuestas:

a) Halle el área encerrada por la función $f(x)=x^2+x-2$ y el eje OX entre $x=4$ y $x=6$. [1 punto]

b) Calcule las asíntotas de la función $g(x)={\displaystyle \frac{-2x^2-1}{3(x^2+x-2)}}$. [1 punto]

Como el recinto está limitado por el eje $OX$, lo primero es localizar los puntos donde la curva lo corta, porque en ellos cambiaría el signo de la función.

$f(x)=0\Rightarrow x^2+x-2=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{-1\pm \sqrt{1+8}}{2}}={\displaystyle \frac{-1\pm 3}{2}}$

$\{\begin{array}{l}x=1\\ x=-2\end{array}$

Ninguno de los dos cortes pertenece al intervalo $[4,6]$, de modo que la función mantiene el signo en todo él. Se comprueba en un punto cualquiera.

$f(5)=25+5-2=28>0$



Al ser la función positiva en todo el intervalo, el área coincide con la integral definida. Calculamos primero una primitiva.

$\int (x^2+x-2)dx={\displaystyle \frac{x^3}{3}}+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}-2x$

Aplicando la regla de Barrow:

$S={\int }_4^6(x^2+x-2)dx={[{\displaystyle \frac{x^3}{3}}+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}-2x]}_4^6$

$=({\displaystyle \frac{216}{3}}+{\displaystyle \frac{36}{2}}-12)-({\displaystyle \frac{64}{3}}+{\displaystyle \frac{16}{2}}-8)=(72+18-12)-{\displaystyle \frac{64}{3}}$

$S=78-{\displaystyle \frac{64}{3}}={\displaystyle \frac{234-64}{3}}={\displaystyle \frac{170}{3}}\approx \mathrm{56,67}$

El área encerrada por la función y el eje $OX$ entre $x=4$ y $x=6$ es de ${\displaystyle \frac{170}{3}}$ unidades de superficie, aproximadamente $\mathrm{56,67}$.



El denominador es el triple de la función del apartado anterior, que se anula en $x=1$ y en $x=-2$, de modo que el dominio es $\mathbb{R}-\{-2,1\}$ y esos son los candidatos a asíntota vertical.

${\lim }_{x\to 1}g(x)={\displaystyle \frac{-3}{0}}=\mathrm{\infty }$

${\lim }_{x\to -2}g(x)={\displaystyle \frac{-9}{0}}=\mathrm{\infty }$

En los dos casos el numerador no se anula, así que las rectas $x=1$ y $x=-2$ son asíntotas verticales.

Para la asíntota horizontal se compara el grado del numerador con el del denominador: los dos valen 2, luego el límite en el infinito es el cociente de los coeficientes principales.

${\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}g(x)={\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{-2x^2-1}{3x^2+3x-6}}=-{\displaystyle \frac{2}{3}}$

La recta $y=-{\displaystyle \frac{2}{3}}$ es asíntota horizontal por las dos ramas y, al haberla, la función no tiene asíntotas oblicuas.

La función tiene dos asíntotas verticales, $x=-2$ y $x=1$, y una asíntota horizontal, $y=-{\displaystyle \frac{2}{3}}$.