Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2023

Se desea analizar el valor de las acciones de una empresa en un día. La función $v(t)$ nos indica el valor, en euros, de cada acción de la empresa en función del tiempo $t$, medido en horas, a partir de la hora de apertura del mercado. De la función $v(t)$ se conoce que su variación instantánea es

$v^{\mathrm{\prime }}(t)=t^2-5t+6,t\in [0,6]$

a) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $v$. (0,75 puntos)

b) Si en el momento de la apertura del mercado se conoce que $v(0)=10$, halle la función $v$. (0,75 puntos)

c) Si un inversor compró 3000 de estas acciones en el instante $t=2$ y posteriormente las vendió en el instante $t=4$, indique a cuánto ascendió la ganancia o la pérdida que obtuvo el inversor con esta gestión. (0,5 puntos)

d) ¿En qué momentos debería haber realizado este inversor las gestiones de compra y de venta para que la ganancia hubiese sido máxima? Justifique su respuesta. (0,5 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{intervalos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{decrecimiento}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathit{v}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{puntos)}}$

La monotonía de $v$ la da el signo de su derivada, que es el dato del enunciado. Igualamos a cero.

$v^{\mathrm{\prime }}(t)=t^2-5t+6=0\Rightarrow t={\displaystyle \frac{5\pm \sqrt{25-24}}{2}}={\displaystyle \frac{5\pm 1}{2}}\Rightarrow \{\begin{array}{l}t=2\\ t=3\end{array}$

Los dos valores pertenecen al intervalo $[0,6]$. Estudiamos el signo de $v^{\mathrm{\prime }}(t)=(t-2)(t-3)$.



$\{\begin{array}{l}{v}^{\mathrm{\prime }}(0)=6>0\\ v^{\mathrm{\prime }}(\mathrm{2,5})=\mathrm{6,25}-\mathrm{12,5}+6=-\mathrm{0,25}<0\\ v^{\mathrm{\prime }}(4)=16-20+6=2>0\end{array}$

El valor de la acción crece en $(0,2)$, decrece en $(2,3)$ y vuelve a crecer en $(3,6)$.



La función $v$ es una primitiva de $v^{\mathrm{\prime }}$, así que integramos.

$v(t)=\int (t^2-5t+6)dt={\displaystyle \frac{t^3}{3}}-{\displaystyle \frac{5t^2}{2}}+6t+C$

La constante se determina con la condición inicial.

$v(0)=10\Rightarrow C=10$

La función pedida es

$v(t)={\displaystyle \frac{t^3}{3}}-{\displaystyle \frac{5t^2}{2}}+6t+10,t\in [0,6]$



Calculamos el valor de una acción en los dos instantes.

$v(2)={\displaystyle \frac{8}{3}}-10+12+10={\displaystyle \frac{44}{3}}\approx \mathrm{14,67}$

$v(4)={\displaystyle \frac{64}{3}}-40+24+10={\displaystyle \frac{46}{3}}\approx \mathrm{15,33}$

La variación por acción es

$v(4)-v(2)={\displaystyle \frac{46}{3}}-{\displaystyle \frac{44}{3}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$

Y con las 3000 acciones:

$3000\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}=2000$

El inversor obtuvo una ganancia de $2000$ euros.

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{¿En}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{momentos}}\mathbf{\text{deber}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{haber}}\mathbf{\text{realizado}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{inversor}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{gestiones}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{compra}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{venta}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ganancia}}\mathbf{\text{hubiese}}\mathbf{\text{sido}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima?}}\mathbf{\text{Justifique}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{respuesta.}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

La ganancia por acción es la diferencia entre el valor de venta y el de compra, así que interesa comprar cuando la acción vale lo menos posible y vender después, cuando valga lo más posible.

Por el apartado a), los candidatos son los extremos del intervalo y los puntos críticos.

$v(0)=10v(2)={\displaystyle \frac{44}{3}}\approx \mathrm{14,67}v(3)={\displaystyle \frac{29}{2}}=\mathrm{14,5}v(6)=72-90+36+10=28$

El mínimo absoluto es $v(0)=10$ y el máximo absoluto es $v(6)=28$; además la compra ocurre antes que la venta, luego el orden es posible.

El inversor debería haber comprado en el instante $t=0$, a la apertura del mercado, y vendido en el instante $t=6$, con lo que la ganancia por acción habría sido de $18$ euros y, con 3000 acciones, de $54000$ euros.