Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2023

Se considera la función $f(x)=x^3-3x^2+2x$.

a) Halle los puntos de corte con los ejes, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos de $f$ y su curvatura. (1 punto)

b) Represente gráficamente la función $f$. (0,5 puntos)

c) Calcule el área del recinto acotado, limitado por la gráfica de $f$ y el eje de abscisas. (1 punto)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Halle}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{corte}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{ejes,}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{intervalos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{decrecimiento,}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{extremos}}\mathbf{\text{relativos}}\mathbf{\text{de}}\mathit{f}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{curvatura.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Corte con el eje $OY$: hacemos $x=0$ y obtenemos $f(0)=0$, luego el punto es $(0,0)$.

Cortes con el eje $OX$: resolvemos $f(x)=0$ sacando factor común.

$x^3-3x^2+2x=0\Rightarrow x(x^2-3x+2)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=0\\ x^2-3x+2=0\Rightarrow x=1,x=2\end{array}$

Los cortes con el eje de abscisas son $(0,0)$, $(1,0)$ y $(2,0)$.

Para la monotonía derivamos e igualamos a cero.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-6x+2$

$3x^2-6x+2=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{6\pm \sqrt{36-24}}{6}}={\displaystyle \frac{6\pm 2\sqrt{3}}{6}}=1\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Los puntos críticos son $x=1-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}\approx \mathrm{0,42}$ y $x=1+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}\approx \mathrm{1,58}$. Estudiamos el signo de la derivada.



$\{\begin{array}{l}{f}^{\mathrm{\prime }}(0)=2>0\\ f^{\mathrm{\prime }}(1)=3-6+2=-1<0\\ f^{\mathrm{\prime }}(2)=12-12+2=2>0\end{array}$

La función crece en $(-\mathrm{\infty },1-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}})\cup (1+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}},+\mathrm{\infty })$ y decrece en $(1-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}},1+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}})$.

Como pasa de crecer a decrecer, en $x=1-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}$ hay un máximo relativo, y como pasa de decrecer a crecer, en $x=1+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}$ hay un mínimo relativo.

$f(1-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}})={\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{9}}\approx \mathrm{0,38}f(1+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}})=-{\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{9}}\approx -\mathrm{0,38}$

Para la curvatura calculamos la segunda derivada.

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=6x-6=6(x-1)$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow x=1$

Para $x<1$ es $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)<0$ y la función es cóncava; para $x>1$ es $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)>0$ y la función es convexa. En $x=1$ hay un punto de inflexión, que es precisamente el corte $(1,0)$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Represente}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficamente}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathit{f}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Con los tres cortes con los ejes, los dos extremos relativos y el punto de inflexión ya se puede dibujar la curva.



$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{recinto}}\mathbf{\text{acotado,}}\mathbf{\text{limitado}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{fica}}\mathbf{\text{de}}\mathit{f}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{eje}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{abscisas.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

La gráfica corta al eje de abscisas en $x=0$, $x=1$ y $x=2$, así que el recinto acotado son dos lóbulos: uno entre $0$ y $1$, donde la función es positiva, y otro entre $1$ y $2$, donde es negativa.



Calculamos una primitiva.

$\int (x^3-3x^2+2x)dx={\displaystyle \frac{x^4}{4}}-x^3+x^2$

Primer lóbulo:

${\int }_0^1(x^3-3x^2+2x)dx={[{\displaystyle \frac{x^4}{4}}-x^3+x^2]}_0^1={\displaystyle \frac{1}{4}}-1+1={\displaystyle \frac{1}{4}}$

Segundo lóbulo:

${\int }_1^2(x^3-3x^2+2x)dx={[{\displaystyle \frac{x^4}{4}}-x^3+x^2]}_1^2=(4-8+4)-{\displaystyle \frac{1}{4}}=-{\displaystyle \frac{1}{4}}$

El área es la suma de los valores absolutos de las dos integrales.

$\acute{\text{A}}\text{rea}=\mid {\displaystyle \frac{1}{4}}\mid +\mid -{\displaystyle \frac{1}{4}}\mid ={\displaystyle \frac{1}{2}}$

El área del recinto acotado es ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ unidades cuadradas.