Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2022

a) Se considera la función $f(x)=x^3+b{x}^2+cx-1$ donde $b$ y $c$ son números reales. Determine el valor de $b$ y $c$ para que la función $f$ presente un extremo en el punto de abscisa $x={\displaystyle \frac{1}{3}}$ y además la gráfica de la función $f$ pase por el punto $(-2,-3)$. (1 punto)

b) Dada la función $g(x)=-x^3-x^2+x+1$, realice el esbozo de su gráfica, estudiando los puntos de corte con los ejes coordenados y su monotonía. Determine el área del recinto acotado, limitado por la gráfica de la función $g$ y el eje de abscisas. (1,5 puntos)

Traducimos las dos condiciones del enunciado. Derivamos primero la función.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2+2bx+c$

En un extremo relativo la derivada se anula:

$f^{\mathrm{\prime }}\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)=0\Rightarrow 3\cdot {\displaystyle \frac{1}{9}}+{\displaystyle \frac{2b}{3}}+c=0\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{2b}{3}}+c=0\Rightarrow 2b+3c=-1$

La gráfica pasa por el punto $(-2,-3)$:

$f(-2)=-3\Rightarrow -8+4b-2c-1=-3\Rightarrow 4b-2c=6\Rightarrow 2b-c=3$

Restamos la segunda ecuación de la primera.

$\{\begin{array}{l}2b+3c=-1\\ 2b-c=3\end{array}\Rightarrow 4c=-4\Rightarrow c=-1$

$2b-(-1)=3\Rightarrow 2b=2\Rightarrow b=1$

Los valores buscados son $b=1$ y $c=-1$, con lo que $f(x)=x^3+x^2-x-1$. Se comprueba que $f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2+2x-1=(3x-1)(x+1)$ se anula, efectivamente, en $x={\displaystyle \frac{1}{3}}$.



Corte con el eje $OY$: hacemos $x=0$ y obtenemos $g(0)=1$, luego el punto es $(0,1)$.

Cortes con el eje $OX$: factorizamos agrupando términos.

$g(x)=-x^3-x^2+x+1=-x^2(x+1)+(x+1)=(x+1)(1-x^2)=-(x-1)(x+1{)}^2$

$-(x-1)(x+1{)}^2=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=1\\ x=-1\text{ (ra}\acute{\text{ı}}\text{z doble)}\end{array}$

Los cortes con el eje de abscisas son $(-1,0)$ —donde la curva es tangente al eje— y $(1,0)$.

Para la monotonía derivamos e igualamos a cero.

$g^{\mathrm{\prime }}(x)=-3x^2-2x+1=-(3x-1)(x+1)$

$g^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=-1\\ x={\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}$

Estudiamos el signo de la derivada.



$\{\begin{array}{l}{g}^{\mathrm{\prime }}(-2)=-12+4+1=-7<0\\ g^{\mathrm{\prime }}(0)=1>0\\ g^{\mathrm{\prime }}(1)=-3-2+1=-4<0\end{array}$

La función decrece en $(-\mathrm{\infty },-1)\cup ({\displaystyle \frac{1}{3}},+\mathrm{\infty })$ y crece en $(-1,{\displaystyle \frac{1}{3}})$.

En $x=-1$ hay un mínimo relativo, $(-1,0)$, y en $x={\displaystyle \frac{1}{3}}$ un máximo relativo,

$g\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)=-{\displaystyle \frac{1}{27}}-{\displaystyle \frac{1}{9}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}+1={\displaystyle \frac{32}{27}}\approx \mathrm{1,19}$

Con esta información esbozamos la gráfica. El recinto acotado que la curva encierra con el eje de abscisas va de $x=-1$ a $x=1$, y en su interior la función es positiva.



$\acute{\text{A}}\text{rea}={\int }_{-1}^1(-x^3-x^2+x+1)dx={[-{\displaystyle \frac{x^4}{4}}-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+x]}_{-1}^1$

$=(-{\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}+1)-(-{\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}-1)={\displaystyle \frac{11}{12}}-(-{\displaystyle \frac{5}{12}})={\displaystyle \frac{16}{12}}={\displaystyle \frac{4}{3}}$

El área del recinto acotado es ${\displaystyle \frac{4}{3}}\approx \mathrm{1,33}$ unidades cuadradas.