Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2020

A.3. ( 2 puntos)

Se considera la función real de variable real

$f(x)=-x^4+x^3+2x^2$

a) Determinne la ecuación de la recta tangente a $f(x)$ en el punto de abscisa $x=-1$.
b) Obtenga el área del recinto acotado delimitado por la función $f(x)$ y el eje de abscisas para valores de $x>0$.

La recta tangente en $x=-1$ es $y-f(-1)=f^{\mathrm{\prime }}(-1)(x+1)$, así que necesitamos el valor de la función y el de su derivada en ese punto.

$f(-1)=-(-1{)}^4+(-1{)}^3+2(-1{)}^2=-1-1+2=0$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-4x^3+3x^2+4x$

$f^{\mathrm{\prime }}(-1)=-4(-1{)}^3+3(-1{)}^2+4(-1)=4+3-4=3$

$y-0=3(x+1)\Rightarrow y=3x+3$

La recta tangente a la función en el punto de abscisa $x=-1$ es $y=3x+3$.



El recinto está limitado por la curva y el eje de abscisas, de modo que los límites de integración son dos cortes consecutivos de la función con dicho eje.

$f(x)=0\Rightarrow x^2(-x^2+x+2)=0\Rightarrow x=0\text{o}{x}^2-x-2=0$

$x={\displaystyle \frac{1\pm \sqrt{1+8}}{2}}={\displaystyle \frac{1\pm 3}{2}}\Rightarrow x=-1,x=2$

Se descarta $x=-1$ porque el enunciado pide el recinto con $x>0$, así que el recinto acotado va de $x=0$ a $x=2$. En ese intervalo la función es positiva, como se comprueba en un punto interior, $f(1)=-1+1+2=2>0$, y por tanto la integral definida proporciona directamente el área.

$\acute{\text{A}}\text{rea}={\int }_0^2(-x^4+x^3+2x^2)dx={[-{\displaystyle \frac{x^5}{5}}+{\displaystyle \frac{x^4}{4}}+{\displaystyle \frac{2x^3}{3}}]}_0^2$

$\acute{\text{A}}\text{rea}=-{\displaystyle \frac{32}{5}}+{\displaystyle \frac{16}{4}}+{\displaystyle \frac{16}{3}}={\displaystyle \frac{-96+60+80}{15}}={\displaystyle \frac{44}{15}}$

El área del recinto acotado que la función encierra con el eje de abscisas para $x>0$ es ${\displaystyle \frac{44}{15}}\approx \mathrm{2,93}$ unidades de área.