Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2022

A.3. (2 puntos)

La figura dada representa la gráfica de cierta función $f$. La gráfica representada tiene tangentes horizontales en


$x=-1,x=1,x=2yx=4$.
a) Determine razonadamente los intervalos en los que $f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$.
b) Determine razonadamente cuál es el signo de ${\int }_{-2}^{5}f(x)dx$.

La derivada es positiva exactamente donde la función crece, así que basta leer en la gráfica los tramos ascendentes, delimitados por las abscisas de tangente horizontal.

$x=-1,x=1,x=2,x=4$

Recorriendo la gráfica de izquierda a derecha, la curva es constante hasta $x=-2$, sube hasta el máximo de $x=-1$, baja hasta el mínimo de $x=1$, vuelve a subir hasta $x=2$, baja hasta $x=4$ y sube de nuevo.



La derivada es positiva en $(-2,-1)\cup (1,2)\cup (4,5)$.



La integral definida suma el área que queda entre la curva y el eje de abscisas allí donde la función es positiva y resta la que queda donde es negativa, así que su signo depende de cuál de las dos zonas es mayor.

${\int }_{-2}^{5}f(x)dx=\text{(}\acute{\text{a}}\text{rea por encima del eje)}-\text{(}\acute{\text{a}}\text{rea por debajo)}$

En la gráfica la función es positiva en casi todo $(-2,3)$, con dos lomos que llegan a 2 y a 1,5, y solo es negativa en $(3,5)$, en un valle que no baja de $-1$. La región que queda por encima del eje es claramente mayor que la que queda por debajo.

El signo de la integral es positivo.