Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2023

A.2. (2 puntos)

Se considera la función real de variable real definida por la siguiente expresión:

$f(x)=6x^2+a{e}^x-2,a\in \mathbb{R}$.

a) Obtenga el valor del parámetro real $a$ sabiendo que ${\int }_0^{1}f(x)dx=e-1$.
b) Para $a=1$, obtenga la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en el punto de abscisa $x=0$.

Calculamos la integral definida dejando el parámetro indicado y después igualamos al valor del enunciado.

${\int }_0^1(6x^2+a{e}^x-2)dx={[2x^3+a{e}^x-2x]}_0^1$

$=(2+ae-2)-(0+a-0)=ae-a=a(e-1)$

$a(e-1)=e-1\Rightarrow a=1$

El valor del parámetro es $a=1$.



La recta tangente en $x=0$ es $y-f(0)=f^{\mathrm{\prime }}(0)x$, así que necesitamos el valor de la función y el de su derivada en el origen.

$f(x)=6x^2+e^x-2\Rightarrow f(0)=0+1-2=-1$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=12x+e^x$

$f^{\mathrm{\prime }}(0)=0+1=1$

$y+1=1\cdot x\Rightarrow y=x-1$

La recta tangente a la gráfica en el punto de abscisa $x=0$ es $y=x-1$.