Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2023

B.3. (2 puntos) Se consideran las siguientes funciones reales de variable real:

$f(x)=-x^3+2x^2+4x,g(x)=4x$.

a) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f(x)$.
b) Calcule el área de la región acotada limitada por las gráficas de las funciones $f(x)$ y $g(x)$ en el primer cuadrante del plano cartesiano.

El signo de la derivada decide la monotonía, y sus ceros son los puntos críticos.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-3x^2+4x+4$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow 3x^2-4x-4=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{4\pm \sqrt{16+48}}{6}}={\displaystyle \frac{4\pm 8}{6}}$

$x=-{\displaystyle \frac{2}{3}},x=2$

La parábola $3x^2-4x-4$ es negativa entre sus raíces, y en la derivada aparece con el signo cambiado.

$\begin{array}{cccc}& (-\mathrm{\infty },-\frac{2}{3})& (-\frac{2}{3},2)& (2,+\mathrm{\infty })\\ f^{\mathrm{\prime }}(x)& -& +& -\end{array}$

La función decrece en $(-\mathrm{\infty },-{\displaystyle \frac{2}{3}})\cup (2,+\mathrm{\infty })$ y crece en $(-{\displaystyle \frac{2}{3}},2)$.





Los límites de integración son las abscisas donde se cortan las dos gráficas.

$f(x)-g(x)=-x^3+2x^2+4x-4x=-x^3+2x^2=x^2(2-x)$

$x^2(2-x)=0\Rightarrow x=0(\text{doble}),x=2$

En el primer cuadrante el recinto acotado va de $x=0$ a $x=2$, y ahí la diferencia es positiva, por ejemplo $f(1)-g(1)=1>0$, así que la cúbica queda por encima de la recta.

$\acute{\text{A}}\text{rea}={\int }_0^2(-x^3+2x^2)dx={[-{\displaystyle \frac{x^4}{4}}+{\displaystyle \frac{2x^3}{3}}]}_0^2$

$\acute{\text{A}}\text{rea}=-4+{\displaystyle \frac{16}{3}}={\displaystyle \frac{4}{3}}\approx \mathrm{1,33}$

El área de la región acotada es ${\displaystyle \frac{4}{3}}$ unidades de área.