Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2024

EJERCICIO 3. Análisis.
La función $f(x)=a{x}^2+bx+c$, en donde a, b, c son números reales, pasa por el origen de coordenadas y tiene un máximo en el punto P (4, 16).

a) Calcule los valores de a, b, c.
b) Realice la representación gráfica de la función $f(x)$ y determine el área comprendida entre dicha función y el eje OX.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{a,}}\mathbf{\text{b,}}\mathbf{\text{c.}}$

Cada condición del enunciado se traduce en una ecuación. Que la gráfica pase por el origen significa $f(0)=0$; que tenga un máximo en $P(4,16)$ obliga a que pase por ese punto y a que la derivada se anule allí.

$f(0)=c=0$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2ax+b\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(4)=8a+b=0\Rightarrow b=-8a$

$f(4)=16a+4b+c=16\Rightarrow 16a+4(-8a)=16\Rightarrow -16a=16\Rightarrow a=-1$

$b=-8(-1)=8$

Los valores buscados son $a=-1$, $b=8$ y $c=0$, de modo que $f(x)=-x^2+8x$. Como $a<0$ la parábola se abre hacia abajo y el extremo es efectivamente un máximo.



Los cortes con el eje de abscisas son los ceros de la función:

$-x^2+8x=0\Rightarrow x(8-x)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=0\\ x=8\end{array}$

Con esos dos cortes y el vértice $(4,16)$ ya se puede trazar la parábola.



Entre $x=0$ y $x=8$ la función es positiva, así que el área coincide con la integral definida.

$\acute{\text{A}}\text{rea}={\int }_0^8(-x^2+8x)dx={[-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}+4x^2]}_0^8$

$=(-{\displaystyle \frac{512}{3}}+256)-0={\displaystyle \frac{-512+768}{3}}={\displaystyle \frac{256}{3}}$

El área comprendida entre la parábola y el eje OX es de $\frac{256}{3}\approx \mathrm{85,33}$ unidades de área.