Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2024

EJERCICIO 4. Análisis.
Considérese la siguiente función:
$f(x)=a{x}^3-2x^2+bx+c$
donde $a,b,c$ son números reales.

a) Calcular $a,b,c$ sabiendo que la función $f(x)$ pasa por (2,8) y que tiene un extremo relativo en (0,16).
b) Para $a=b=0$ y $c=16$, calcule el área de la región limitada por la función $f(x)$ y la recta $y=8$.

Cada condición del enunciado se traduce en una ecuación. Que haya un extremo relativo en $(0,16)$ obliga a que la función pase por ese punto y a que su derivada se anule allí.

$f(0)=16\Rightarrow c=16$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3a{x}^2-4x+b\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(0)=b=0$

Con la condición de que pase por $(2,8)$:

$f(2)=8a-8+2b+c=8\Rightarrow 8a-8+0+16=8\Rightarrow 8a=0\Rightarrow a=0$

Los valores buscados son $a=0$, $b=0$ y $c=16$, de modo que la función es la parábola $f(x)=-2x^2+16$, que efectivamente tiene su vértice en $(0,16)$ y pasa por $(2,8)$.



Los límites de integración son las abscisas de los puntos de corte entre la parábola y la recta.

$-2x^2+16=8\Rightarrow 2x^2=8\Rightarrow x^2=4\Rightarrow x=\pm 2$

Entre $-2$ y $2$ la parábola queda por encima de la recta, así que se integra la diferencia en ese orden.

$\acute{\text{A}}\text{rea}={\int }_{-2}^2[(-2x^2+16)-8]dx={\int }_{-2}^2(8-2x^2)dx$

$={[8x-{\displaystyle \frac{2x^3}{3}}]}_{-2}^2=(16-{\displaystyle \frac{16}{3}})-(-16+{\displaystyle \frac{16}{3}})=32-{\displaystyle \frac{32}{3}}={\displaystyle \frac{64}{3}}$



El área de la región limitada por la parábola y la recta $y=8$ es de $\frac{64}{3}\approx \mathrm{21,33}$ unidades de área.