Examen de Matemáticas CCSS de Galicia 2024 (convocatoria ordinaria)

EJERCICIO 1. Álgebra.
Considere la ecuación matricial $X\cdot A+B=A\cdot B^t$, en donde $B^t$ denota la matriz traspuesta de $B$, siendo $A$ y $B$ las matrices siguientes:
$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ -1& 1& 2\\ 1& 0& -2\end{array}\right)B=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 1& -1& 1\\ 0& -1& 1\end{array}\right)$

a) Calcule, si es posible, la inversa de la matriz $A$ y el rango de la matriz $B$.
b) Despeje la matriz $X$ en la ecuación matricial y, a continuación, calcule su valor.

EJERCICIO 2. Álgebra.
Considere el sistema de inecuaciones dado por:
$x+2y\le 40x+y\ge 53x+y\le 45x\ge 0$

a) Represente gráficamente la región factible determinada por el sistema de inecuaciones anterior y calcule sus vértices.
b) Calcule el punto o puntos de esa región donde la función $f(x,y)=2x-3y$ alcanza su valor máximo y su valor mínimo.

EJERCICIO 3. Análisis.
El número de vehículos vendidos por un concesionario a lo largo del último año se estima que viene dado por la función
$N(t)=\{\begin{array}{ll}28-(t-4{)}^2,& 0\le t<6\\ (t-10{)}^2+8,& 6\le t\le 12\end{array}$
en donde $t$ es el tiempo transcurrido en meses.

a) Determine los períodos de crecimiento y decrecimiento del número de vehículos vendidos. ¿Cuál ha sido el mayor número de vehículos vendidos? ¿Y el menor? ¿En qué momentos se han producido? Justifique sus respuestas.
b) Con la información del apartado anterior, represente la gráfica de la función.
c) ¿Hubo algún período del año en el que el número de vehículos vendidos haya sido inferior a 12 unidades? Justifique su respuesta.

EJERCICIO 4. Análisis.
Considérese la siguiente función:
$f(x)=a{x}^3-2x^2+bx+c$
donde $a,b,c$ son números reales.

a) Calcular $a,b,c$ sabiendo que la función $f(x)$ pasa por (2,8) y que tiene un extremo relativo en (0,16).
b) Para $a=b=0$ y $c=16$, calcule el área de la región limitada por la función $f(x)$ y la recta $y=8$.

EJERCICIO 5. Estadística y Probabilidad.
Se estima que en una población el 20% padece obesidad y que el 11% padece obesidad y son hipertensos. Además, el 27,5% de los hipertensos padecen obesidad.

a) ¿Qué porcentaje de la población padece obesidad o es hipertenso?
b) ¿Son independientes los sucesos “padecer obesidad” y “ser hipertensos”?
c) Calcule la probabilidad de que un individuo que no padece obesidad sea hipertenso.

EJERCICIO 6. Estadística y Probabilidad.
Puede suponerse que el tiempo de formación, en horas, que necesita un empleado de una empresa para poder trabajar en una nueva planta sigue una distribución normal con desviación típica igual a 15.

a) Si en una muestra de 25 empleados, el tiempo medio necesario fue de 97 horas, calcule un intervalo de confianza con un 95% de confianza para la media del tiempo de formación precisado.
b) Si la media del tiempo de formación precisado es $\mu =97$ horas, ¿cuál es la probabilidad de que el tiempo medio precisado de muestras de 36 trabajadores se encuentre entre 90 y 104 horas?