Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

EJERCICIO 2. Álgebra.
Considere el sistema de inecuaciones dado por:
$x+2y\le 40x+y\ge 53x+y\le 45x\ge 0$

a) Represente gráficamente la región factible determinada por el sistema de inecuaciones anterior y calcule sus vértices.
b) Calcule el punto o puntos de esa región donde la función $f(x,y)=2x-3y$ alcanza su valor máximo y su valor mínimo.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Represente}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficamente}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{factible}}\mathbf{\text{determinada}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{inecuaciones}}\mathbf{\text{anterior}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{v}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rtices.}}$

Despejamos $y$ en las inecuaciones que lo permiten para saber qué semiplano deja cada recta. Conviene fijarse en que el sistema no exige $y\ge 0$, de modo que la región baja por debajo del eje de abscisas.

$\{\begin{array}{l}x+2y\le 40\Rightarrow y\le {\displaystyle \frac{40-x}{2}}\\ x+y\ge 5\Rightarrow y\ge 5-x\\ 3x+y\le 45\Rightarrow y\le 45-3x\\ x\ge 0\end{array}$

La región factible es la zona coloreada en azul, un cuadrilátero cerrado.



Los vértices se obtienen resolviendo los sistemas que forman las rectas que se cortan en cada uno.

Vértice $A$:

$\{\begin{array}{l}x=0\\ x+y=5\end{array}\Rightarrow y=5\Rightarrow A(0,5)$

Vértice $B$:

$\{\begin{array}{l}x+y=5\\ 3x+y=45\end{array}\Rightarrow 2x=40\Rightarrow x=20\Rightarrow y=-15\Rightarrow B(20,-15)$

Vértice $C$:

$\{\begin{array}{l}3x+y=45\\ x+2y=40\end{array}\Rightarrow y=45-3x\Rightarrow x+2(45-3x)=40\Rightarrow -5x=-50$

$x=10\Rightarrow y=15\Rightarrow C(10,15)$

Vértice $D$:

$\{\begin{array}{l}x=0\\ x+2y=40\end{array}\Rightarrow y=20\Rightarrow D(0,20)$

Los vértices de la región factible son $A(0,5)$, $B(20,-15)$, $C(10,15)$ y $D(0,20)$.



La región factible es convexa y cerrada, así que por el teorema fundamental de la programación lineal el máximo y el mínimo se alcanzan en algún vértice. Valoramos la función en los cuatro.

$f(0,5)=2\cdot 0-3\cdot 5=-15$

$f(20,-15)=2\cdot 20-3(-15)=40+45=85$

$f(10,15)=2\cdot 10-3\cdot 15=20-45=-25$

$f(0,20)=2\cdot 0-3\cdot 20=-60$

La función alcanza su valor máximo, 85, en el vértice $B(20,-15)$, y su valor mínimo, $-60$, en el vértice $D(0,20)$. En los dos casos el punto es único.